Nhà thầy Minh cách bờ biển Bãi Cháy $1km$. Mỗi buổi sáng thầy Minh

Câu hỏi số 846988:

Vận dụng

Nhà thầy Minh cách bờ biển Bãi Cháy $1km$. Mỗi buổi sáng thầy Minh chạy bộ từ nhà ra bờ biển sau đó chạy dọc bờ biển $500m,$ rồi thầy chạy qua chợ hải sản để lấy thức ăn trong ngày, cuối cùng thầy chạy về nhà. Biết chợ hải sản cách bờ biển Bãi Cháy $400m$ và cách nhà thầy Minh $1km$ (tham khảo hình vẽ). Tính quãng đường ngắn nhất mà thầy Minh đã chạy trong mỗi buổi sáng (đơn vị $m$ và làm tròn đến hàng đơn vị).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:846988

Phương pháp giải

Gọi độ dài 1 đoạn là $x$, biểu diễn các độ dài quãng đường di chuyển theo $x$ và khảo sát hàm số tìm GTNN.

Giải chi tiết

Xét các điểm như hình trên với $AH = 10,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} MN = 5,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BK = 4,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} AB = 10$

Kẻ $BP\parallel HK{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {P \in AH} \right)$

Khi đó $PH = BK = 4$

Suy ra $AP = AH - PH = 10 - 4 = 6$

Tam giác APB vuông tại $P$ nên $BP = \sqrt{AB^{2} - AP^{2}}\ \ = \sqrt{10^{2} - 6^{2}}\ \ = 8$

Do đó $HK = 8$

Đặt $HM = x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {0 \le x \le 3} \right)$

Khi đó $NK = 8 - 5 - x = 3 - x$

Ta có: $AM = \sqrt {A{H^2} + H{M^2}} {\rm{ \;}} = \sqrt {{x^2} + 100} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BN = \sqrt {B{K^2} + N{K^2}} {\rm{ \;}} = \sqrt {{{\left( {3 - x} \right)}^2} + 16} $

Ta cần đi tìm giá trị nhỏ nhất của $\sqrt{x^{2} + 100}\ \ + \sqrt{\left( {3 - x} \right)^{2} + 16}$

Áp dụng định lí Minkowski ta có

$\sqrt{x^{2} + 100}\ \ + \sqrt{\left( {3 - x} \right)^{2} + 16}\ \ \geq \sqrt{\left( {x + 3 - x} \right)^{2} + \left( {10 + 4} \right)^{2}}\ \ = \sqrt{205}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\left. \dfrac{3 - x}{x} = \dfrac{4}{10}\Leftrightarrow x = \dfrac{15}{7} \right.$

Vậy quãng đường ngắn nhất mà thầy Minh đã chạy trong mỗi sáng là

$500 + \sqrt{205}.100 + 1000 \approx 2932(m)$

Đáp án cần điền là: 2932

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.