Cho khối chóp $S.ABC$ có $AB = 4a$; $BC = 3a\sqrt{2};\mspace{6mu}\widehat{ABC} = 45{^\circ}$ và
Cho khối chóp $S.ABC$ có $AB = 4a$; $BC = 3a\sqrt{2};\mspace{6mu}\widehat{ABC} = 45{^\circ}$ và $\widehat{SAC} = \widehat{SBC} = 90{^\circ}$. Biết góc phẳng nhị diện $\lbrack A,SB,C\rbrack$ là $\alpha$ với $\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{4}$. Biết rằng, thể tích của khối chóp $S.ABC$ có dạng $\dfrac{x\sqrt{y}}{z}a^{3}$, trong đó $y$ là số nguyên tố và $\dfrac{x}{z}$ là phân số tối giản, $x,y \in {\mathbb{N^*}}$. Tính $x + y + z$.
Đáp án đúng là:
Quảng cáo
Xác định chiều cao của hình chóp sau đó tính thể tích khối chóp.
Ta có: $\left. AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2AB.BC.\cos \widehat{B} = 10a^{2}\Rightarrow AC = a\sqrt{10} \right.$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABC)$.
Ta có $\left. CA\bot SA,CA\bot SH\Rightarrow CA\bot HA \right.$.
Chứng minh tương tự ta có $CB\bot HB$.
Khi đó $ABCH$ nội tiếp đường tròn đường kính $HC$ nên
$\left. HC = \dfrac{AC}{\sin 45{^\circ}} = 2a\sqrt{5}\Rightarrow HB = \sqrt{HC^{2} - BC^{2}} = a\sqrt{2} \right.$
Gọi $K,I$ là hình chiếu vuông góc của $C$ và $H$ lên $AB$.
Khi đó $\Delta CKB$ và $\Delta HIB$ vuông cân nên $CK = \dfrac{3a\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3a$ và $HI = \dfrac{HB}{\sqrt{2}} = a$.
Do đó $\dfrac{d\left( {H;\left( {SAB} \right)} \right)}{d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right)} = \dfrac{HI}{CK} = \dfrac{1}{3}$
Ta có:
$\begin{array}{l} \left. \sin\alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{4}\Rightarrow\dfrac{d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right)}{CB} = \dfrac{\sqrt{2}}{4} \right. \\ \left. \Rightarrow d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = CB.\dfrac{\sqrt{2}}{4} = \dfrac{3a}{2}\Rightarrow d\left( {H;\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{a}{2} \right. \end{array}$.
Khi đó
$\begin{array}{l} {\dfrac{1}{SH^{2}} = \dfrac{1}{d^{2}\left( {H;\left( {SAB} \right)} \right)} - \dfrac{1}{HI^{2}} = \dfrac{4}{a^{2}} - \dfrac{1}{a^{2}} = \dfrac{3}{a^{2}}} \\ \left. \Rightarrow SH^{2} = \dfrac{a^{2}}{3}\Rightarrow SH = \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right. \end{array}$
Diện tích tam giác $\Delta ABC$ là $S_{\Delta ABC} = \dfrac{1}{2}AB.BC.\sin\widehat{B} = \dfrac{1}{2}.4a.3a\sqrt{2}.\sin 45{^\circ} = 6a^{2}$
Thể tích khối chóp là $V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3}.SH.S_{\Delta ABC} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.6a^{2} = \dfrac{2a^{3}\sqrt{3}}{3}.$
Khi đó: $\left. \left\{ \begin{array}{l} {x = 2} \\ {y = z = 3} \end{array} \right.\Rightarrow x + y + z = 2 + 3 + 3 = 8. \right.$
Đáp án cần điền là: 8
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
