Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A(0;0;1),B(0;1;0),C(1;0;0)\) và phương

Câu hỏi số 847254:

Thông hiểu

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A(0;0;1),B(0;1;0),C(1;0;0)\) và phương trình \(d:x=y=-z\). Biết \(M(a;b;c) \in d\) thoả mãn \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right|\)min. Tính \(a+3b+c\).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:847254

Phương pháp giải

Tham số hoá \(M\in d\)

Tính giá trị của \(\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right|\)

Biến đổi về bài toán Min, Max.

Giải chi tiết

Lấy \(M\in (d)\Rightarrow M(t;t;-t)\). Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = \left( {t;t; - t - 1} \right)\\\overrightarrow {BM} = \left( {t;t - 1; - t} \right)\\\overrightarrow {CM} = \left( {t - 1;t; - t} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} - \overrightarrow {CM} = \left( {t + 1;t - 1; - 1 - t} \right)\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} - \overrightarrow {CM} } \right| = \sqrt {2{{\left( {t + 1} \right)}^2} + {{\left( {t - 1} \right)}^2}} \\ = \sqrt {3{t^2} + 2t + 3} = \sqrt 3 .\sqrt {{t^2} + \dfrac{2}{3}t + 1} = \sqrt 3 .\sqrt {{{\left( {t + \dfrac{1}{3}} \right)}^2} + \dfrac{8}{9}} \ge \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}\end{array}\)

Dấu = xảy ra khi \(t=-\dfrac{1}{3}\). Suy ra \(M\left( -\dfrac{1}{3};-\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3} \right)\).

Vậy \(a+3b+c=-1\).

Đáp án cần điền là: -1

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.