Trong không gian tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + z + 1 = 0,\) \(A\left( {8; -

Câu hỏi số 847255:

Vận dụng

Trong không gian tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + z + 1 = 0,\) \(A\left( {8; - 7;4} \right),\) \(B\left( { - 1;2; - 2} \right).\) Tìm toạ độ điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(M{A^2} + 2M{B^2}\) nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:847255

Phương pháp giải

- Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = 0\), tìm tọa độ điểm I .

- Viết \(M{A^2} + 2M{B^2}\) dưới dạng vectơ, chèn điểm I.

- Từ đó suy ra vị trí điểm M thuộc (P) để \(M{A^2} + 2M{B^2}\) nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = 0\).

Ta có: \(\overrightarrow {IA} = \left( {8 - a; - 7 - b;4 - c} \right),\,\,\overrightarrow {IB} = \left( { - 1 - a;2 - b; - 2 - c} \right)\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}8 - a + 2\left( { - 1 - a} \right) = 0\\ - 7 - b + 2\left( {2 - b} \right) = 0\\4 - c + 2\left( { - 2 - c} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a = 6\\3b = - 3\\3c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 1\\c = 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I\left( {2; - 1;0} \right)\)

Ta có

\(\begin{array}{l}M{A^2} + 2M{B^2}\\ = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\\ = 3M{I^2} + I{A^2} + 2I{B^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} } \right)\\ = 3M{I^2} + I{A^2} + 2I{B^2}\end{array}\)

Vì I, A, B cố định nên \(IA,\,\,IB\) không đổi, suy ra \({\left( {M{A^2} + 2M{B^2}} \right)_{\min }} \Leftrightarrow M{I_{\min }} \Rightarrow M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Đường thẳng \(d\) đi qua \(I\) và vuông góc với (P) là \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 1 - t\\z = t\end{array} \right.\).

Suy ra \(M = d \cap \left( P \right) \Rightarrow \) Tọa độ của M là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 1 - t\\z = t\\2x - y + z + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 1 - t\\z = t\\4 + 4t + 1 + t + t + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = - 1\\t = - 1\end{array} \right.\)

Vậy \(M(0;0; - 1)\).

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.