Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):x - y + 2z = 0$

Câu hỏi số 847231:

Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):x - y + 2z = 0$ và các điểm $A\left( {1;2; - 1} \right)$, $B\left( {3;1; - 2} \right),$$C\left( {1; - 2;1} \right)$. Biết điểm $M\left(x_M;y_M;z_M \right) \in \left( P \right)$ thoả mãn $T=M{A^2} - M{B^2} - M{C^2}$ lớn nhất. Tính tích $x_M.y_M.z_M$.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:847231

Phương pháp giải

Khai triển biểu thức $T = MA^2 - MB^2 - MC^2$ theo tọa độ $x, y, z$, thế điều kiện từ phương trình mặt phẳng $(P)$ để đưa T về hàm hai biến.
Giá trị lớn nhất đạt được khi các biểu thức trong bình phương đồng thời bằng 0.

Giải chi tiết

Gọi điểm $M\left( {x;y;z} \right)$ ta có:

\(\begin{array}{l}A{M^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {x^2} - 2x + 1 + {y^2} - 4y + 4 + {z^2} + 2z + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 2z + 6\\B{M^2} = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {x^2} - 6x + 9 + {y^2} - 2y + 1 + {z^2} + 4z + 4\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 2y + 4z + 14\\C{M^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {x^2} - 2x + 1 + {y^2} + 4y + 4 + {z^2} - 2z + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z + 6\\ \Rightarrow M{A^2} - M{B^2} - M{C^2}\\ = \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 2z + 6} \right)\\ - \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 2y + 4z + 14} \right)\\ - \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z + 6} \right)\\ = - {x^2} - {y^2} - {z^2} + 6x - 6y - 14\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Mà $M \in \left( P \right):x - y + 2z = 0$ nên $y = x + 2z$, thay vào (*) ta được:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,M{A^2} - M{B^2} - M{C^2}\\ = - {x^2} - {\left( {x + 2z} \right)^2} - {z^2} + 6x - 6\left( {x + 2z} \right) - 14\\ = - {x^2} - {x^2} - 4xz - 4{z^2} - {z^2} + 6x - 6x - 12z - 14\\ = - 2{x^2} - 4xz - 5{z^2} - 12z - 14\\ = - 2{x^2} - 4xz - 2{z^2} - 3{z^2} - 12z - 12 - 2\\ = - 2\left( {{x^2} + 2xz + {z^2}} \right) - 3\left( {{z^2} + 4z + 4} \right) - 2\\ = - 2{\left( {x + z} \right)^2} - 3{\left( {z + 2} \right)^2} - 2 \le - 2.0 - 3.0 - 2 = - 2\\ \Rightarrow M{A^2} - M{B^2} - M{C^2} \le - 2\end{array}$

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}x + z = 0\\z + 2 = 0\\y = x + 2z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = - 2\\x = 2\\y = - 2\end{array} \right.$$ \Rightarrow M\left( {2; - 2; - 2} \right)$

Vậy $x_M;y_M;z_M=8$.

Đáp án cần điền là: 8

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.