(2,0 điểm)a) Với $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn $\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) =

Câu hỏi số 847262:

Vận dụng

(2,0 điểm)

a) Với $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn $\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) = 1$. Tính giá trị của biểu thức

$P = \sqrt{{(4a + 5)}^{2} + {(3b)}^{2}} - \sqrt{{(4a - 5)}^{2} + {(3b)}^{2}}.$

b) Biết $a,b$ là hai nghiệm thực của phương trình $x^{2} - 4x + c = 0$ và $- a$ là một nghiệm thực của phương trình $11x^{2} - x + 2c = 0$ với $c$ là một số thực khác 0 . Tính giá trị của biểu thức $a^{2025} + b^{2025} + c^{2025}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:847262

Phương pháp giải

a) Từ $\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) = 1$ ta được $b^{2} = a^{2} - 1$. Thay vào P và rút gọn

b) Sử dụng viet và thay –a vào phương trình $11x^{2} - x + 2c = 0$ tìm a từ đó suy ra b và tính $a^{2025} + b^{2025} + c^{2025}$

Giải chi tiết

a) Ta có $\left. \left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) = 1\Rightarrow a^{2} - b^{2} = 1\Rightarrow b^{2} = a^{2} - 1 \right.$

Do đó $P = \sqrt{{(4a + 5)}^{2} + {(3b)}^{2}} - \sqrt{{(4a - 5)}^{2} + {(3b)}^{2}}.$

$\begin{array}{l} {= \sqrt{{(4a + 5)}^{2} + 9\left( {a^{2} - 1} \right)} - \sqrt{{(4a - 5)}^{2} + 9\left( {a^{2} - 1} \right)}} \\ {= \sqrt{25a^{2} + 40a + 16} - \sqrt{25a^{2} - 40a + 16}} \end{array}$

$= \sqrt{{(5a + 4)}^{2}} - \sqrt{{(5a - 4)}^{2}}$

$= \left| {5a + 4| - |5a - 4} \right|\ $

Mà $\left. b^{2} = a^{2} - 1 > 0\Rightarrow a > 1 \right.$

$\left. \Rightarrow P = \left( {5a + 4} \right) - \left( {5a - 4} \right) = 8. \right.$

b) Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l} {a + b = 4} \\ {ab = c} \end{array} \right.$

$- a$ là một nghiệm của phương trình $11x^{2} - x + 2c = 0$ nên $11a^{2} + a + 2c = 0$

Từ đó ta có được

$\begin{array}{l} {11a^{2} + a + 2ab = 0} \\ {11a^{2} + a + 2a\left( {4 - a} \right) = 0} \\ {9a^{2} + 9a = 0} \\ {9a\left( {a + 1} \right) = 0} \end{array}$

Suy ra $a = 0$ hoặc $a = - 1$

Với $a = 0$ thì $b = 4;c = 0$ (loại)

Với $a = - 1$ thì $b = 5;c = - 5$ (nhận)

Vậy $a^{2025} + b^{2025} + c^{2025} = - 1$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link