Cho $x,\,\, y$ là các số thực dương thay đổi thỏa mãn $xy = 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu

Câu hỏi số 847640:

Vận dụng

Cho $x,\,\, y$ là các số thực dương thay đổi thỏa mãn $xy = 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = \dfrac{2\left( {x^{3} + y^{3}} \right)}{\left( {x^{4} + y^{2}} \right)\left( {x^{2} + y^{4}} \right)}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:847640

Phương pháp giải

Biến đổi $P = \dfrac{2\left( {x^{3} + y^{3}} \right)}{\left( {x^{4} + y^{2}} \right)\left( {x^{2} + y^{4}} \right)} = \dfrac{x}{x^{4} + y^{2}} + \dfrac{y}{x^{2} + y^{4}}$

Đánh giá $\dfrac{x}{x^{4} + y^{2}} \leq \dfrac{1}{2}$ và $\dfrac{y}{x^{2} + y^{4}} \leq \dfrac{1}{2}$ tìm GTLN của A

Giải chi tiết

Ta có: $P = \dfrac{2\left( {x^{3} + y^{3}} \right)}{\left( {x^{4} + y^{2}} \right)\left( {x^{2} + y^{4}} \right)} = \dfrac{x^{3} + y^{3} + x^{3} + y^{3}}{\left( {x^{4} + y^{2}} \right)\left( {x^{2} + y^{4}} \right)} = \dfrac{x^{3} + y^{3} + 1.\left( {x^{3} + y^{3}} \right)}{\left( {x^{4} + y^{2}} \right)\left( {x^{2} + y^{4}} \right)}$

Thay $xy = 1$ ta được

$\begin{array}{l} {P = \dfrac{x^{3} + y^{3} + xy\left( {x^{3} + y^{3}} \right)}{\left( {x^{4} + y^{2}} \right)\left( {x^{2} + y^{4}} \right)} = \dfrac{x^{3} + y^{3} + x^{4}y + xy^{4}}{\left( {x^{4} + y^{2}} \right)\left( {x^{2} + y^{4}} \right)}} \\ {= \dfrac{y\left( {x^{4} + y^{2}} \right) + x\left( {x^{2} + y^{4}} \right)}{\left( {x^{4} + y^{2}} \right)\left( {x^{2} + y^{4}} \right)} = \dfrac{x}{x^{4} + y^{2}} + \dfrac{y}{x^{2} + y^{4}}} \end{array}$

Ta có: $\left( {x^{2} - y} \right) \geq 0,\,\,\forall x,y$ nên $x^{4} + y^{2} \geq 2x^{2}y,\,\,\forall x,y$

Do đó $\dfrac{x}{x^{4} + y^{2}} \leq \dfrac{x}{2x^{2}y} = \dfrac{1}{2xy} = \dfrac{1}{2}\,\,\left( {do\,\, x,y > 0} \right)$

Tương tự $\dfrac{y}{x^{2} + y^{4}} \leq \dfrac{1}{2}$

Như vậy $A \leq 1$

Dấu $" = "$ xảy ra khi và chỉ khi $\left. \left\{ \begin{array}{l} {x^{2} = y} \\ {x = y^{2}} \\ {xy = 1} \end{array} \right.\Leftrightarrow x = y = 1 \right.$

Vậy GTLN của $A$ là 1 khi $x = y = 1$

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link