Tìm GTNN, GTLN của $A = \dfrac{7y^{2} - 4xy}{x^{2} - 2xy + 2y^{2}}$

Câu hỏi số 847639:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:847639

Phương pháp giải

Xét trường hợp $y = 0,\,\, y \neq 0$

Với trường hợp $y \neq 0$ ta chia cả tử và mẫu cho $y^{2}$ rồi đưa về dạng $A = \dfrac{7 - 4t}{t^{2} - 2t + 2}$

Giải chi tiết

Nếu $y = 0$ thì $A = 0$

Xét trường hợp $y \neq 0$: $A = \dfrac{7 - 4.\dfrac{x}{y}}{\left( \dfrac{x}{y} \right)^{2} - 2.\dfrac{x}{y} + 2}$

Đặt $\dfrac{x}{y} = t\,\,\left( {t \neq 0} \right)$. Khi đó $A = \dfrac{7 - 4t}{t^{2} - 2t + 2}$

Ta có $A = \dfrac{7 - 4t}{t^{2} - 2t + 2} = \dfrac{7 - 4t}{t^{2} - 2t + 2} + 1 - 1 = \dfrac{t^{2} - 6t + 9}{t^{2} - 2t + 2} - 1 = \dfrac{\left( {t - 3} \right)^{2}}{\left( {t - 1} \right)^{2} + 1} - 1$

Vì $\dfrac{\left( {t - 3} \right)^{2}}{\left( {t - 1} \right)^{2} + 1} \geq 0$ nên $A \geq - 1$ nên A đạt GTNN bằng -1 khi $\left. t = 3\Leftrightarrow x = 3y \neq 0 \right.$

Lại có $A = 4 - \left( {4 - \dfrac{7 - 4t}{t^{2} - 2t + 2}} \right) = 4 - \dfrac{4t^{2} - 4t + 1}{\left( {t - 1} \right)^{2} + 1} = 4 - \dfrac{\left( {2t - 1} \right)^{2}}{\left( {t - 1} \right)^{2} + 1}$

Vì $\dfrac{\left( {2t - 1} \right)^{2}}{\left( {t - 1} \right)^{2} + 1} \geq 0$ nên $A \leq 4$. Vậy A đạt GTLN bằng 4 khi $\left. t = \dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2x = y \neq 0 \right.$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link