Tìm GTNN, GTLN của $A = \dfrac{7y^{2} - 4xy}{x^{2} - 2xy + 2y^{2}}$

Câu hỏi số 847639:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:847639

Phương pháp giải

Xét trường hợp $y = 0,\,\, y \neq 0$

Với trường hợp $y \neq 0$ ta chia cả tử và mẫu cho $y^{2}$ rồi đưa về dạng $A = \dfrac{7 - 4t}{t^{2} - 2t + 2}$

Giải chi tiết

Nếu $y = 0$ thì $A = 0$

Xét trường hợp $y \neq 0$: $A = \dfrac{7 - 4.\dfrac{x}{y}}{\left( \dfrac{x}{y} \right)^{2} - 2.\dfrac{x}{y} + 2}$

Đặt $\dfrac{x}{y} = t\,\,\left( {t \neq 0} \right)$. Khi đó $A = \dfrac{7 - 4t}{t^{2} - 2t + 2}$

Ta có $A = \dfrac{7 - 4t}{t^{2} - 2t + 2} = \dfrac{7 - 4t}{t^{2} - 2t + 2} + 1 - 1 = \dfrac{t^{2} - 6t + 9}{t^{2} - 2t + 2} - 1 = \dfrac{\left( {t - 3} \right)^{2}}{\left( {t - 1} \right)^{2} + 1} - 1$

Vì $\dfrac{\left( {t - 3} \right)^{2}}{\left( {t - 1} \right)^{2} + 1} \geq 0$ nên $A \geq - 1$ nên A đạt GTNN bằng -1 khi $\left. t = 3\Leftrightarrow x = 3y \neq 0 \right.$

Lại có $A = 4 - \left( {4 - \dfrac{7 - 4t}{t^{2} - 2t + 2}} \right) = 4 - \dfrac{4t^{2} - 4t + 1}{\left( {t - 1} \right)^{2} + 1} = 4 - \dfrac{\left( {2t - 1} \right)^{2}}{\left( {t - 1} \right)^{2} + 1}$

Vì $\dfrac{\left( {2t - 1} \right)^{2}}{\left( {t - 1} \right)^{2} + 1} \geq 0$ nên $A \leq 4$. Vậy A đạt GTLN bằng 4 khi $\left. t = \dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2x = y \neq 0 \right.$

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link