Tìm các số nguyên tố $a,\,\, b,\,\, c$ thỏa mãn $a^{b} + 2011 = c$

Câu hỏi số 849306:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:849306

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp đánh giá

Giải chi tiết

Nếu $c = 2$ khi đó $a^{b} + 2011 = 2$ (vô lí do $a > 1,\,\, b > 1$)

Nếu $c = 3$ thì $a^{b} + 2011 = 3$ (vô lí do $a > 1,\,\, b > 1$)

Nếu $c > 3$, mà c là số nguyên tố nên $c$ là số lẻ

Từ $a^{b} + 2011 = c$ nên $a^{b} + 2011$ là số lẻ

Do đó $a^{b}$ là số chẵn

Mà $a,\,\, b$ nguyên tố nên $a = 2$

Khi đó $2^{b} + 2011$ là số nguyên tố

Nếu $b = 2$ ta được $2^{b} + 2011 = 2015$ là hợp số

Nếu $b \geq 3$, do $b$ là số nguyên tố nên $b$ lẻ

Đặt $b = 2k + 1,\,\, k \in {\mathbb{N}}*$

Khi đó $2^{b} + 2011 = 2^{2k + 1} + 2011 = 2.2^{2k} + 2011 = 2.4^{k} + 2011 = 2.\left( {3 + 1} \right)^{k} + 2011$

Rõ ràng $2.\left( {3 + 1} \right)^{k}$ chia 3 dư 2 và $2011$ chia 3 dư 1 nên $2\left( {3 + 1} \right)^{k} + 2011$ chia hết cho 3

Do đó $2^{b} + 2011 \vdots 3$

Suy ra $2^{b} + 2011$ là một hợp số

Vậy không tồn tại các số nguyên tố $a,\,\, b,\,\, c$ để $a^{b} + 2011 = c$

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link