Tìm các số nguyên tố $\left( {p;q;r} \right)$ thỏa mãn $\left( {p + 1} \right)\left( {q + 2} \right)\left( {r

Câu hỏi số 849307:

Vận dụng

Tìm các số nguyên tố $\left( {p;q;r} \right)$ thỏa mãn $\left( {p + 1} \right)\left( {q + 2} \right)\left( {r + 3} \right) = 4pqr$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:849307

Phương pháp giải

Xét $r = 2,\,\, r = 3,\,\, r > 3$

Sử dụng phương pháp đánh giá và tính chia hết để tìm $p,q,r$

Giải chi tiết

Vì $p,q,r$ là các số nguyên tố nên $p \geq 2,q \geq 2,r \geq 2$

Nếu $r = 2$ thi đó phương trình trở thành $5\left( {p + 1} \right)\left( {q + 2} \right) = 8pq$

Do $\left( {5,8} \right) = 1$ nên $\left. 5 \middle| pq \right.$

Do đó $p = 5$ hoặc $q = 5$

Với $p = 5$ khi đó ta được $5\left( {5 + 1} \right)\left( {q + 2} \right) = 8.5q$ nên $q = 6$ không là số nguyên tố

Với $q = 5$ khi đó ta được $5\left( {p + 1} \right)\left( {5 + 2} \right) = 8.5p$ nên $p = 7$ thỏa mãn

Nếu $r = 3$ khi đó phương trình trở thành $\left( {p + 1} \right)\left( {q + 2} \right) = 2pq$

Suy ra $\left( {p - 1} \right)\left( {q - 2} \right) = 4 = 1.4 = 2.2$

Do $p,\,\, q$ là các số nguyên tố nên $q - 2 \neq 2,\,\, q - 2 \neq 4$

Do đó $\left\{ \begin{array}{l} {p - 1 = 4} \\ {q - 2 = 1} \end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l} {p = 5} \\ {q = 3} \end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Nếu $r > 3$ khi đó $4pqr = \left( {p + 1} \right)\left( {q + 2} \right)\left( {r + 3} \right) < 2r\left( {p + 1} \right)\left( {q + 2} \right)$

Hay $2pq < \left( {p + 1} \right)\left( {q + 2} \right)$

Do đó $\left( {p - 1} \right)\left( {q - 2} \right) < 4$

Khi đó $p - 1 < 4,\,\, q - 2 < 4$ mà $p$ nguyên tố nên $p = 2$ hoặc $p = 3$

Với $p = 2$ ta được $3\left( {q + 2} \right)\left( {r + 3} \right) = 8pr$

Do $\left( {3,8} \right) = 1$ nên $\left. 3 \middle| qr \right.$

Mà $q,r$ là các số nguyên tố và $r > 3$ nên $q = 3$

Khi đó $r = 5$

Với $p = 3$ ta được $\left( {q + 2} \right)\left( {r + 3} \right) = 3qr$

Hay $2qr - 3q - 2r = 6$ nên $\left( {q - 1} \right)\left( {2r - 3} \right) = 9 = 1.9 = 3.3$

Vì $r > 3$ nên $2r - 3 > 3$

Do đó $\left\{ \begin{array}{l} {2r - 3 = 9} \\ {q - 1 = 1} \end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l} {r = 6} \\ {q = 2} \end{array} \right.$ (không thỏa mãn)

Vậy $\left( {p;q;r} \right) = \left( {7;5;2} \right),\,\,\left( {5;3;3} \right),\,\,\left( {2;3;5} \right)$

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link