Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $6x^{2} + 5y^{2} = 74$

Câu hỏi số 849318:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:849318

Phương pháp giải

Sử dụng tính chia hết, tìm được $x^{2} = 5t + 4,\,\, y^{2} = 10 - 6t\,\,\left( {t \in {\mathbb{N}}} \right)$

Từ đó tìm được giá trị của $t$, rồi tìm $x,\,\, y$

Giải chi tiết

Ta có: $\left. 6x^{2} + 5y^{2} = 74\Leftrightarrow 6\left( {x^{2} - 4} \right) = 5\left( {10 - y^{2}} \right)\,\,(1) \right.$

Từ (1) ta có $6\left( {x^{2} - 4} \right) \vdots 5$

Mà $\left( {6,5} \right) = 1$ nên $x^{2} - 4 \vdots 5$ hay $x^{2} - 4 \vdots 5$

Suy ra $x^{2} = 5t + 4\,\,\left( {t \in {\mathbb{N}}} \right)$

Thay $x^{2} - 4 = 5t$ vào (1) ta có $\left. 30t = 5\left( {10 - y^{2}} \right)\Leftrightarrow y^{2} = 10 - 6t \right.$

Vì $x^{2} > 0,\,\, y^{2} > 0$ nên $\left. \left\{ \begin{array}{l} {5t + 4 > 0} \\ {10t - 6 > 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {t > - \dfrac{4}{5}} \\ {t < \dfrac{5}{3}} \end{array} \right.\Leftrightarrow - \dfrac{4}{5} < t < \dfrac{5}{3} \right.$

Mà $t \in {\mathbb{N}}$ nên $t \in \left\{ {0;1} \right\}$

Với $t = 0$ ta được $y^{2} = 10$. Do đó không tồn tại $x,\,\, y \in {\mathbb{N}}*$ thỏa mãn

Với $t = 1$ ta được $x^{2} = 9,\,\, y^{2} = 4$

Khi đó $x = \pm 3,\, y = \pm 2$

Mà $x,\,\, y \in {\mathbb{N}}*$ nên $x = 3,\,\, y = 2$

Vậy phương trình có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right)$

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link