Tìm các số tự nhiên $x,\,\, y$ thỏa mãn $x^{2} - 3x + 1 = 5^{y}$

Câu hỏi số 849320:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:849320

Phương pháp giải

Xét $y = 0,\,\, y = 1,\,\, y \geq 2$

Sử dụng tính chia hết 25 của $5^{y}\,\,\left( {y \geq 2} \right)$

Giải chi tiết

Với $y = 0$ ta được $x^{2} - 3x + 1 = 1$

Do đó $x^{2} - 3x = 0$

Ta được $x = 0,\,\, x = 3\,\,\left( {TM} \right)$

Với $y = 1$ ta được

$\begin{array}{l} {x^{2} - 3x + 1 = 5} \\ {x^{2} - 3x - 4 = 0} \\ \left. \Leftrightarrow x^{2} + x - 4x - 4 = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) - 4\left( {x + 1} \right) = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right) = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = - 1\,\,(L)} \\ {x = 4\,\,\left( {TM} \right)} \end{array} \right. \right. \end{array}$

Với $y \geq 2$

Khi đó $5^{y} \vdots 25$ nên $x^{2} - 3x + 1 \vdots 25$

Suy ra $x^{2} - 3x + 1 \vdots 5$

Mà $x^{2} - 3x + 1 = \left( {x + 1} \right)^{2} - 5x$ nên $\left( {x + 1} \right)^{2} \vdots 5$ hay $x + 1 \vdots 5$

Do đó $x = 5k + 4\,\,\left( {k \in {\mathbb{N}}} \right)$

Khi đó $x^{2} - 3x + 1 = 25k^{2} + 25k + 5 \vdots 25$ (mâu thuẫn)

Vậy các cặp $\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn là $\left( {0;0} \right),\,\,\left( {3;0} \right),\,\,\left( {4;1} \right)$

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link