Giải phương trình nghiệm nguyên $x^{2} - 4xy + 5y^{2} = 2\left( {x - y} \right)$

Câu hỏi số 849323:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:849323

Phương pháp giải

Biến đổi về dạng $\left( {x - 2y - 1} \right)^{2} + \left( {y - 1} \right)^{2} = 2\,\,$

Sau đó sử dụng phương pháp đánh giá tìm được giá trị của $y,\,\, x$

Giải chi tiết

Ta có:

$\begin{array}{l} {x^{2} - 4xy + 5y^{2} = 2\left( {x - y} \right)} \\ \left. \Leftrightarrow x^{2} - 4xy + 5y^{2} - 2x + 2y = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow x^{2} - 2x\left( {2y + 1} \right) + \left( {2y + 1} \right)^{2} - \left( {2y + 1} \right)^{2} + 5y^{2} + 2y = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow\left( {x - 2y - 1} \right)^{2} + y^{2} - 2y - 1 = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow\left( {x - 2y - 1} \right)^{2} + y^{2} - 2y + 1 = 2 \right. \\ \left. \Leftrightarrow\left( {x - 2y - 1} \right)^{2} + \left( {y - 1} \right)^{2} = 2\,\,(*) \right. \end{array}$

Ta có: $\left( {x - 2y - 1} \right)^{2} \geq 0,\,\,\forall x,y$ nên $\left( {y - 1} \right)^{2} \leq 2$

Mà $y$ nguyên nên $\left( {y - 1} \right)^{2} \in \left\{ {0;1} \right\}$

Với $\left( {y - 1} \right)^{2} = 0$ thì $\left( {x - 2y - 1} \right)^{2} = 2$ (loại)

Với $\left( {y - 1} \right)^{2} = 1$ ta được $\left. \left\lbrack \begin{array}{l} {y - 1 = 1} \\ {y - 1 = - 1} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {y = 2} \\ {y = 0} \end{array} \right. \right.$

Thay $y = 2$ vào (*) ta được $\left( {x - 5} \right)^{2} = 1$

Khi đó $x = 4$ hoặc $x = 6$

Thay $y = 0$ vào (*) ta được $\left( {x - 1} \right)^{2} = 1$

Khi đó $x = 0$ hoặc $x = 2$

Vậy phương trình có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {4;2} \right),\left( {6;2} \right),\left( {0;0} \right),\left( {2;0} \right)$

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link