Cho $a,\,\, b \in {\mathbb{Q}}$ thỏa mãn $a^{3}b + ab^{3} + 2a^{2}b^{2} + 2a + 2b + 1 = 0$. Chứng minh rằng $1 -

Câu hỏi số 849684:

Vận dụng

Cho $a,\,\, b \in {\mathbb{Q}}$ thỏa mãn $a^{3}b + ab^{3} + 2a^{2}b^{2} + 2a + 2b + 1 = 0$. Chứng minh rằng $1 - ab$ là bình phương của một số hữu tỉ.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:849684

Phương pháp giải

Chứng minh $1 - ab = m^{2}$ với $m \in {\mathbb{Q}}$

Giải chi tiết

Ta có:

$\begin{array}{l} {a^{3}b + ab^{3} + 2a^{2}b^{2} + 2a + 2b + 1 = 0} \\ \left. \Leftrightarrow\left( {a^{3}b + ab^{3} + 2a^{2}b^{2}} \right) + \left( {2a + 2b} \right) + 1 = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow ab\left( {a + b} \right)^{2} + 2\left( {a + b} \right) + 1 = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow\left( {ab} \right)^{2}\left( {a + b} \right)^{2} + 2ab\left( {a + b} \right) + ab = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow\left( {ab} \right)^{2}\left( {a + b} \right)^{2} + 2ab\left( {a + b} \right) + 1 = 1 - ab \right. \\ \left. \Leftrightarrow\left\lbrack {ab\left( {a + b} \right) + 1} \right\rbrack^{2} = 1 - ab \right. \end{array}$

Vì $a,\,\, b \in {\mathbb{Q}}$ nên $\left\lbrack {ab\left( {a + b} \right) + 1} \right\rbrack^{2}$ là bình phương của số hữu tỉ

Do đó $1 - ab$ là bình phương của một số hữu tỉ

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link