Cho $n$ là số nguyên dương và $m$ là ước nguyên dương của $2n^{2}$. Chứng minh rằng $n^{2} + m$

Câu hỏi số 849685:

Vận dụng

Cho $n$ là số nguyên dương và $m$ là ước nguyên dương của $2n^{2}$. Chứng minh rằng $n^{2} + m$ không là số chính phương

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:849685

Phương pháp giải

Giả sử $n^{2} + m$ là số chính phương. Ta chứng minh cho $p^{2} + 2p$ là số chính phương

Từ đó suy ra điều mâu thuẫn

Giải chi tiết

Giả sử $n^{2} + m$ là số chính phương. Đặt $n^{2} + m = k^{2}\,\,\left( {k \in {\mathbb{N}}} \right)\,\,(1)$

Theo bài ra ta có $2n^{2} = mp\,\,\left( {p \in {\mathbb{N}}*} \right)$

Khi đó $m = \dfrac{2n^{2}}{p}$

Thay vào (1) ta được $n^{2} + \dfrac{2n^{2}}{p} = k^{2}$

Suy ra $n^{2}p^{2} + 2pn^{2} = p^{2}k^{2}$ hay $n^{2}\left( {p^{2} + 2p} \right) = \left( {pk} \right)^{2}$

Do $n^{2},\,\,\left( {pk} \right)^{2}$ là các số chính phương nên $p^{2} + 2p$ là số chính phương

Mặt khác $p^{2} < p^{2} + 2p < \left( {p + 1} \right)^{2},\,\,\forall p \in {\mathbb{N}}*$

Do đó $p^{2} + 2p$ không là số chính phương (mâu thuẫn)

Vậy $n^{2} + m$ không là số chính phương

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link