Cho hai số tự nhiên $a,b$ thỏa mãn $2a^{2} + a = 3b^{2} + b$. Chứng minh rằng $2a + 2b + 1$ là số chính

Câu hỏi số 849686:

Vận dụng

Cho hai số tự nhiên $a,b$ thỏa mãn $2a^{2} + a = 3b^{2} + b$. Chứng minh rằng $2a + 2b + 1$ là số chính phương

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:849686

Phương pháp giải

Với các số $m,n,p$ nguyên dương thỏa mãn $mn = p^{2},\,\,\left( {m,n} \right) = 1$. Khi đó $m$ và $n$ là các số chính phương

Giải chi tiết

Ta có: $2a^{2} + a = 3b^{2} + b$

$\begin{array}{l} \left. \Leftrightarrow 2a^{2} - 2b^{2} + a - b = b^{2} \right. \\ \left. \Leftrightarrow 2\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) + \left( {a - b} \right) = b^{2} \right. \\ \left. \Leftrightarrow\left( {a - b} \right)\left( {2a + 2b + 1} \right) = b^{2}\,\,(*) \right. \end{array}$

Gọi $d = \left( {a - b,2a + 2b + 1} \right)$

Khi đó $\left. \left\{ \begin{array}{l} {a - b \vdots d} \\ {2a + 2b + 1 \vdots d} \end{array} \right.\Rightarrow\left( {a - b} \right)\left( {2a + 2b + 1} \right) \vdots d^{2}\Rightarrow b^{2} \vdots d^{2}\Rightarrow b \vdots d \right.$

Mà $a - b \vdots d$ nên $a \vdots d$

Do đó $2a + 2b \vdots d$

Mà $2a + 2b + 1 \vdots d$ nên $1 \vdots d$

Suy ra $d = 1$ hay $\left( {a - b,2a + 2b + 1} \right) = 1$

Từ (*) ta được $a - b$ và $2a + 2b + 1$ là số chính phương

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link