Chứng minh rằng nếu $n$ là số tự nhiên thỏa mãn $n + 1$ và $2n + 1$ đều là số chính phương

Câu hỏi số 849687:

Vận dụng

Chứng minh rằng nếu $n$ là số tự nhiên thỏa mãn $n + 1$ và $2n + 1$ đều là số chính phương thì $n$ chia hết cho 24

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:849687

Phương pháp giải

Chứng minh $n \vdots 3,\,\, n \vdots 8$

Giải chi tiết

Vì $n + 1$ và $2n + 1$ đều là số chính phương nên ta có: $n + 1 = k^{2},\,\, 2n + 1 = m^{2}\,\,\left( {k,m \in {\mathbb{N}}*} \right)$

Ta thấy $m$ là số lẻ nên $m = 2t + 1\,\,\left( {t \in {\mathbb{N}}} \right)$

Khi đó $m^{2} = 4t\left( {t + 1} \right) + 1$ hay $2n + 1 = 4t\left( {t + 1} \right) + 1$

Do đó $n = 2t\left( {t + 1} \right)$

Suy ra $n$ chẵn, từ đó ta được $k$ lẻ

Ta có: $k^{2},m^{2}$ chia cho 3 có dư là 0 hoặc 1

Mà $k^{2} + m^{2} = 3n + 2$ chia 3 dư 2 nên $k^{2},m^{2}$ cùng chia 3 dư 1

Do đó $n = m^{2} - k^{2}$ chia hết cho 3 (1)

Vì $k$ lẻ nên $k = 2p + 1\,\,\left( {p \in {\mathbb{N}}} \right)$

Khi đó $n + 1 = k^{2} = 4p\left( {p + 1} \right) + 1$ hay $n = 4p\left( {p + 1} \right)$

Rõ ràng $p\left( {p + 1} \right) \vdots 2$ nên $n = 4p\left( {p + 1} \right) \vdots 8$ (2)

Từ (1) và (2) ta được $n \vdots 24$

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link