Cho 2 số nguyên dương $a,\,\, b$ thỏa mãn $a + b + 1$ là một ước nguyên tố của $2\left( {a^{2} +

Câu hỏi số 849688:

Vận dụng

Cho 2 số nguyên dương $a,\,\, b$ thỏa mãn $a + b + 1$ là một ước nguyên tố của $2\left( {a^{2} + b^{2}} \right) - 1$. Chứng minh rằng $ab$ là một số chính phương

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:849688

Phương pháp giải

Biến đổi chứng minh $\left( {a - b} \right)^{2} \vdots \left( {a + b + 1} \right)$ để suy ra $\left( {a - b} \right) \vdots \left( {a + b + 1} \right)$

Phản chứng a > b để suy ra a = b từ đó suy ra ab là số chính phương

Giải chi tiết

Giả sử $a$ và $b$ là hai số nguyên dương khác nhau

Ta có: $\left( {a + b} \right)^{2} - 1 = \left( {a + b - 1} \right)\left( {a + b + 1} \right)$ nên $\left\lbrack {\left( {a + b} \right)^{2} - 1} \right\rbrack \vdots \left( {a + b + 1} \right)$

Mà $2\left( {a^{2} + b^{2}} \right) - 1 \vdots \left( {a + b + 1} \right)$ nên $2\left( {a^{2} + b^{2}} \right) - 1 - \left( {\left( {a + b} \right)^{2} - 1} \right) \vdots \left( {a + b + 1} \right)$

Hay $\left( {a - b} \right)^{2} \vdots \left( {a + b + 1} \right)$

Mà $\left( {a + b + 1} \right)$ là số nguyên tố nên $\left| {a - b} \right| \vdots \left( {a + b + 1} \right)$

Không mất tính tổng quát ta giả sử $a > b$

Khi đó $\left( {a - b} \right) \vdots \left( {a + b + 1} \right)$

Do đó $a - b \geq a + b + 1$ hay $2b + 1 \leq 0$

Điều này vô lí vì $b$ nguyên dương

Như vậy điều giả sử là sai

Vậy $a = b$ hay $ab$ là số chính phương

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link