a) Cho phương trình $x^{2} - 6mx + 18m - 9 = 0(1)(m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị của $m$ để

Câu hỏi số 850971:

Vận dụng

a) Cho phương trình $x^{2} - 6mx + 18m - 9 = 0(1)(m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ thoả mãn $\left( {x_{1}^{2} - 4mx_{1} + 18m - 6} \right)\left( {2mx_{2} + 3} \right) = 2m + 9.$

b) Cho các số thực $a,b,c$ thoả mãn $a + b + c = 4$ và $0 \leq a,b,c \leq 3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = 2a^{2} + b^{2} + 3c^{2} - 2b - 13c$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:850971

Phương pháp giải

a) Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm $\Delta > 0$

Do $x_{1}$ là nghiệm của phương trình (1) nên $\left. x_{1}^{2} - 6mx_{1} + 18m - 9 = 0\Leftrightarrow x_{1}^{2} - 4mx_{1} + 18m - 6 = 2mx_{1} + 3. \right.$

Thay vào $\left( {x_{1}^{2} - 4mx_{1} + 18m - 6} \right)\left( {2mx_{2} + 3} \right) = 2m + 9$ tìm m

b) Từ các điều kiện đưa P về 1 biến a và sử dụng hằng đẳng thức tìm GTLN của P

Giải chi tiết

a) Xét $= {(3m)}^{2} - \left( {18m - 9} \right) = {(3m - 3)}^{2} \geq 0,\forall m$.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ thì $m$ khác 1 .

Do $x_{1}$ là nghiệm của phương trình (1) nên

$\left. x_{1}^{2} - 6mx_{1} + 18m - 9 = 0\Leftrightarrow x_{1}^{2} - 4mx_{1} + 18m - 6 = 2mx_{1} + 3. \right.$

Giả sử tồn tại $m$ thoả mãn yêu cầu bài toán, khi đó đẳng thức trở thành:

$\begin{array}{l} {2m + 9 = \left( {2mx_{1} + 3} \right)\left( {2mx_{2} + 3} \right) = 4m^{2}x_{1}x_{2} + 6m\left( {x_{1} + x_{2}} \right) + 9} \\ \left. ~\Leftrightarrow 2m + 9 = 4m^{2}\left( {18m - 9} \right) + 6m \cdot 6m + 9 \right. \\ \left. ~\Leftrightarrow 2m = 72m^{2}\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {m = 0} \\ {m = \pm \dfrac{1}{6}} \end{array} \right. \right. \end{array}$

Thử lại với $m = 0,m = \dfrac{1}{6},m = - \dfrac{1}{6}$ đều thoả mãn.

Vậy các giá trị $m$ cần tìm là $m = 0,m = \dfrac{1}{6},m = - \dfrac{1}{6}$.

b) Ta có: $3c^{2} - 13c \leq c^{2} - 2c$.

Thật vậy $\left. 3c^{2} - 13c \leq c^{2} - 2c\Leftrightarrow c\left( {2c - 11} \right) \leq 0 \right.$ với $0 \leq c \leq 3$.

Khi đó $P \leq 2a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2b - 2c \leq 2a^{2} + {(b + c)}^{2} - 2\left( {b + c} \right)$

Hay $P \leq 2a^{2} + {(4 - a)}^{2} - 2\left( {4 - a} \right) = 3a^{2} - 6a + 8.$ (*)

Mặt khác $\left. \left( {a + 1} \right)\left( {a - 3} \right) \leq 0\Leftrightarrow 3\left( {a^{2} - 2a - 3} \right) \leq 0\Leftrightarrow 3a^{2} - 6a + 8 \leq 17 \right.$.

Như vậy từ (*) thì $P \leq 17$.

Vậy max $P = 17$.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a = 3,b = 1,c = 0$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link