a) Tìm tất cả các số nguyên $m$ để $A = m^{3} + 6m^{2} + 11m + 6$ là một số chính phương.b) Tìm

Câu hỏi số 850972:

Vận dụng

a) Tìm tất cả các số nguyên $m$ để $A = m^{3} + 6m^{2} + 11m + 6$ là một số chính phương.

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $\left( {x,y} \right)$ thoả mãn $x + y^{2} + 1$ chia hết cho $xy$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:850972

Phương pháp giải

a) Phân tích $A = \left( {m + 2} \right)\left( {m^{2} + 4m + 3} \right)$ và chứng minh UCLN $\left( {m + 2,m^{2} + 4m + 3} \right) = 1$

Giả sử $m^{2} + 4m + 3 = a^{2}$, với $a$ nguyên dương.

Ta có $\left. {(m + 2)}^{2} - a^{2} = 1\Leftrightarrow\left( {m + 2 - a} \right)\left( {m + 2 + a} \right) = 1. \right.$

Chia các trường hợp tìm a, m

b) Đặt $\left. x + y^{2} + 1 = kxy\Leftrightarrow y^{2} + 1 = x\left( {ky - 1} \right) \right.$

Chia các trường hợp $k = 1;k = 2;k = 3;k > 3$ từ đó tìm x, y

Giải chi tiết

a) Giả sử tồn tại $m$ để $A$ là một số chính phương.

Ta có $A = \left( {m + 2} \right)\left( {m^{2} + 4m + 3} \right)$.

Đặt $d = \left( {m + 2,m^{2} + 4m + 3} \right)$.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l} {d \mid m + 2} \\ {d \mid m^{2} + 4m + 3 = {(m + 2)}^{2} - 1} \end{array}\Rightarrow d \middle| 1\Leftrightarrow d = 1 \right.$.

Do đó $m + 2,m^{2} + 4m + 3$ đều là số chính phương.

Giả sử $m^{2} + 4m + 3 = a^{2}$, với $a$ nguyên dương.

Ta có $\left. {(m + 2)}^{2} - a^{2} = 1\Leftrightarrow\left( {m + 2 - a} \right)\left( {m + 2 + a} \right) = 1. \right.$

Trường hợp 1: $\left\{ \begin{array}{l} {m + 2 - a = 1} \\ {m + 2 + a = 1} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {m = - 1} \\ {a = 0} \end{array} \right. \right.$. Thử lại $m = - 1$ thoả mãn.

Trường hợp 2: $\left\{ \begin{array}{l} {m + 2 - a = - 1} \\ {m + 2 + a = - 1} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {m = - 3} \\ {a = 0} \end{array} \right. \right.$. Thử lại $m = - 3$ thoả mãn.

Vậy các giá trị $m$ cần tìm để $A$ là số chính phương là $m = - 3,m = - 1$.

b) Giả sử tồn tại cặp số nguyên dương $\left( {x,y} \right)$ sao cho $xy \mid x + y^{2} + 1$.

Đặt $\left. x + y^{2} + 1 = kxy\Leftrightarrow y^{2} + 1 = x\left( {ky - 1} \right) \right.$. Trong đó $k$ nguyên dương, hiển nhiên $ky \neq 1$.

Khi đó $\left. ky - 1\left| y^{2} + 1\Rightarrow ky - 1 \right|k\left( {y^{2} + 1} \right) = y\left( {ky - 1} \right) + y + k\Rightarrow ky - 1 \mid y + k \right.$.

Suy ra $\left. ky - 1 \leq y + k\Rightarrow y\left( {k - 1} \right) \leq k + 1 \right.$.

Trường hợp 1: Nếu $k = 1$ thì $\left. xy = x + y^{2} + 1\Leftrightarrow x\left( {y - 1} \right) = y^{2} + 1 \right.$.

Do đó $y - 1\left| y^{2} + 1 = \left( {y - 1} \right)\left( {y + 1} \right) + 2\Rightarrow y - 1 \right|2$. Hay $y \in \left\{ {2;3} \right\}$.

Với $y = 2$ thay vào (1) thì $x = 5$, còn $y = 3$ thì $x = 5$.

Trường hợp 2: Nếu $k = 2$ thì $\left. 2xy = x + y^{2} + 1\Leftrightarrow x\left( {2y - 1} \right) = y^{2} + 1 \right.$.

Do đó $2y - 1\left| 4\left( {y^{2} + 1} \right) = \left( {2y - 1} \right)\left( {2y + 1} \right) + 5\Rightarrow 2y - 1 \right|5$. Hay $y \in \left\{ {1;3} \right\}$.

Với $y = 1$ thay vào (2) thì $x = 2$, còn $y = 3$ thì $x = 2$.

Trường hợp 3: Nếu $k = 3$ thì $3xy = x + y^{2} + 1$ và từ () có $\left. y \leq 2\Rightarrow y \in \left\{ {1;2} \right\} \right.$

Với $y = 1$ thay vào (3) thì $x = 1$, còn $y = 2$ thì $x = 1$

Trường hợp 4: Nếu $k > 3$ thì từ () có $y \leq \dfrac{k + 1}{k - 1} < 2$. Nên $y = 1$.

Ta có: $x\left| x + 2\Rightarrow x \right|2$. Như vậy có hai bộ $\left( {2,1} \right),\left( {1,1} \right)$.

Tuy nhiên với $x = 2,y = 1$ thì $k = 2$, và với $x = y = 1$ thì $k = 3$ (vô lý).

Thử lại với các cặp $\left( {x,y} \right)$ sau $\left( {5,2} \right)\left( {5,3} \right)\left( {2,1} \right)\left( {2,3} \right)\left( {1,1} \right)\left( {1,2} \right)$ đều thoả mãn.

Vậy các cặp số nguyên dương $\left( {x,y} \right)$ thoả mãn là $\left( {5,2} \right)\left( {5,3} \right)\left( {2,1} \right)\left( {2,3} \right)\left( {1,1} \right)\left( {1,2} \right)$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link