a) Cho $a,b,c$ là các số thực khác 0 thoả mãn $ab^{2} + bc^{2} + ca^{2} = abc$. Tính giá trị của biểu

Câu hỏi số 850970:

Vận dụng

a) Cho $a,b,c$ là các số thực khác 0 thoả mãn $ab^{2} + bc^{2} + ca^{2} = abc$. Tính giá trị của biểu thức $P = \dfrac{a}{b}\left( {c + a} \right) + \dfrac{b}{c}\left( {a + b} \right) + \dfrac{c}{a}\left( {b + c} \right)$.

b) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {{(3xy - 2)}^{2} + 4x^{2} = 5y^{2}} \\ {2x^{2} - 3xy^{2} = y\left( {y - 2} \right)} \end{array} \right.$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:850970

Phương pháp giải

a) Chia 2 vế của $ab^{2} + bc^{2} + ca^{2} = abc$ cho abc từ đó thay và rút gọn P

b) Từ phương trình (2) chia cả 2 vế cho để rút $\left( {3xy - 2} \right)$ từ đó thay vào (1) và giải phương trình.

Giải chi tiết

a) Từ giả thiết ta có: $1 = \dfrac{ab^{2} + bc^{2} + ca^{2}}{abc} = \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{a}{b}$. Khi đó

$P = \dfrac{a}{b}\left( {c + a + b} \right) + \dfrac{b}{c}\left( {a + b + c} \right) + \dfrac{c}{a}\left( {b + c + a} \right) - a - b - c$

$~ = \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}} \right) - \left( {a + b + c} \right) = 0$

b) Ta có hệ phương trình: $\begin{cases} {{(3xy - 2)}^{2} + 4x^{2} = 5y^{2}} & \text{~(1)~} \\ {2x^{2} - 3xy^{2} = y\left( {y - 2} \right)} & \text{~(2)~} \end{cases}$.

Ta thấy khi $y = 0$ thì từ (2) có $x = 0$, thay lại vào (1) thì không thoả mãn.

Xét $y$ khác 0 , từ (2) ta có $\left. y\left( {3xy - 2} \right) = 2x^{2} - y^{2}\Leftrightarrow 3xy - 2 = \dfrac{2x^{2} - y^{2}}{y} = \dfrac{2x^{2}}{y} - y \right.$.

Thay vào (1) thì

$\begin{array}{l} {\left( {\dfrac{2x^{2}}{y} - y} \right)^{2} + 4x^{2} = 5y^{2}} \\ \left. \Leftrightarrow\dfrac{4x^{4}}{y^{2}} - 4x^{2} + y^{2} + 4x^{2} = 5y^{2} \right. \\ \left. ~\Leftrightarrow\dfrac{4x^{4}}{y^{2}} = 4y^{2}\Rightarrow x^{4} = y^{4} \right. \\ \left. \Leftrightarrow\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x^{2} + y^{2}} \right) = 0. \right. \end{array}$

Trường hợp 1: Nếu $\left. x^{2} = - y^{2}\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 0\Leftrightarrow x = y = 0 \right.$, không thoả mãn.

Trường hợp 2: Nếu $x = y$ thì từ (2)

$\left. 2x^{2} - 3x^{3} = x\left( {x - 2} \right)\Leftrightarrow 3x^{3} - x^{2} - 2x = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 0} \\ {x = 1} \\ {x = - \dfrac{2}{3}} \end{array}\Rightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = y = 0(L)} \\ {x = y = 1} \\ {x = y = - \dfrac{2}{3}} \end{array} \right. \right. \right.$

Trường hợp 3: Nếu $x = - y$ thì từ (2)

$\left. 2x^{2} - 3x^{3} = - x\left( {- x - 2} \right)\Leftrightarrow 3x^{3} - x^{2} + 2x = 0\Leftrightarrow x\left( {3x^{2} - x + 2} \right) = 0. \right.$

Mà $3x^{2} - x + 2 > 0$ nên $x = 0$ kéo theo $y = 0$, không thoả mãn.

Vậy hệ phương trình có các nghiệm $\left( {x,y} \right)$ là $\left( {1,1} \right),\left( {- \dfrac{2}{3}, - \dfrac{2}{3}} \right)$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link