a) Cho $a,b,c$ là các số thực khác 0 thoả mãn $ab^{2} + bc^{2} + ca^{2} = abc$. Tính giá trị của biểu

Câu hỏi số 850970:

Vận dụng

a) Cho $a,b,c$ là các số thực khác 0 thoả mãn $ab^{2} + bc^{2} + ca^{2} = abc$. Tính giá trị của biểu thức $P = \dfrac{a}{b}\left( {c + a} \right) + \dfrac{b}{c}\left( {a + b} \right) + \dfrac{c}{a}\left( {b + c} \right)$.

b) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {{(3xy - 2)}^{2} + 4x^{2} = 5y^{2}} \\ {2x^{2} - 3xy^{2} = y\left( {y - 2} \right)} \end{array} \right.$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:850970

Phương pháp giải

a) Chia 2 vế của $ab^{2} + bc^{2} + ca^{2} = abc$ cho abc từ đó thay và rút gọn P

b) Từ phương trình (2) chia cả 2 vế cho để rút $\left( {3xy - 2} \right)$ từ đó thay vào (1) và giải phương trình.

Giải chi tiết

a) Từ giả thiết ta có: $1 = \dfrac{ab^{2} + bc^{2} + ca^{2}}{abc} = \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{a}{b}$. Khi đó

$P = \dfrac{a}{b}\left( {c + a + b} \right) + \dfrac{b}{c}\left( {a + b + c} \right) + \dfrac{c}{a}\left( {b + c + a} \right) - a - b - c$

$~ = \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}} \right) - \left( {a + b + c} \right) = 0$

b) Ta có hệ phương trình: $\begin{cases} {{(3xy - 2)}^{2} + 4x^{2} = 5y^{2}} & \text{~(1)~} \\ {2x^{2} - 3xy^{2} = y\left( {y - 2} \right)} & \text{~(2)~} \end{cases}$.

Ta thấy khi $y = 0$ thì từ (2) có $x = 0$, thay lại vào (1) thì không thoả mãn.

Xét $y$ khác 0 , từ (2) ta có $\left. y\left( {3xy - 2} \right) = 2x^{2} - y^{2}\Leftrightarrow 3xy - 2 = \dfrac{2x^{2} - y^{2}}{y} = \dfrac{2x^{2}}{y} - y \right.$.

Thay vào (1) thì

$\begin{array}{l} {\left( {\dfrac{2x^{2}}{y} - y} \right)^{2} + 4x^{2} = 5y^{2}} \\ \left. \Leftrightarrow\dfrac{4x^{4}}{y^{2}} - 4x^{2} + y^{2} + 4x^{2} = 5y^{2} \right. \\ \left. ~\Leftrightarrow\dfrac{4x^{4}}{y^{2}} = 4y^{2}\Rightarrow x^{4} = y^{4} \right. \\ \left. \Leftrightarrow\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x^{2} + y^{2}} \right) = 0. \right. \end{array}$

Trường hợp 1: Nếu $\left. x^{2} = - y^{2}\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 0\Leftrightarrow x = y = 0 \right.$, không thoả mãn.

Trường hợp 2: Nếu $x = y$ thì từ (2)

$\left. 2x^{2} - 3x^{3} = x\left( {x - 2} \right)\Leftrightarrow 3x^{3} - x^{2} - 2x = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 0} \\ {x = 1} \\ {x = - \dfrac{2}{3}} \end{array}\Rightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = y = 0(L)} \\ {x = y = 1} \\ {x = y = - \dfrac{2}{3}} \end{array} \right. \right. \right.$

Trường hợp 3: Nếu $x = - y$ thì từ (2)

$\left. 2x^{2} - 3x^{3} = - x\left( {- x - 2} \right)\Leftrightarrow 3x^{3} - x^{2} + 2x = 0\Leftrightarrow x\left( {3x^{2} - x + 2} \right) = 0. \right.$

Mà $3x^{2} - x + 2 > 0$ nên $x = 0$ kéo theo $y = 0$, không thoả mãn.

Vậy hệ phương trình có các nghiệm $\left( {x,y} \right)$ là $\left( {1,1} \right),\left( {- \dfrac{2}{3}, - \dfrac{2}{3}} \right)$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link