Xét các số thực $x,y,z$ thoả mãn $0 \leq x \leq y \leq z \leq 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu

Câu hỏi số 851275:

Vận dụng

Xét các số thực $x,y,z$ thoả mãn $0 \leq x \leq y \leq z \leq 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \dfrac{x}{yz + 1} + \dfrac{y}{zx + 1} + \dfrac{z}{xy + 1}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:851275

Phương pháp giải

Đánh giá $xyz + 1 \leq xy + 1 \leq xz + 1 \leq yz + 1$ và $2xyz + 2 \geq x + y + z$ từ đó chứng minh $P \leq 2$

Giải chi tiết

Vì $0 \leq x \leq y \leq z \leq 1$ nên $xyz + 1 \leq xy + 1 \leq xz + 1 \leq yz + 1$.

Khi đó: $P \leq \dfrac{x + y + z}{xyz + 1}$.

Ta có: $\left. \left( {y - 1} \right)\left( {z - 1} \right) \geq 0\Leftrightarrow yz \geq y + z - 1 \right.$.

Và từ $\left. \left( {x - 1} \right)\left( {yz - 1} \right) \geq 0\Leftrightarrow xyz \geq yz + x - 1 \geq x + y + z - 2. \right.$

Suy ra $2xyz + 2 \geq x + y + z$.

Như vậy $P \leq \dfrac{x + y + z}{xyz + 1} \leq \dfrac{2xyz + 2}{xyz + 1} = 2$.

Vậy $\text{max}P = 2$.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 số bằng 0 và 2 số còn lại bằng 1.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link