Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn ($O$). Các đường cao $BE,CF$ của tam giác

Câu hỏi số 851276:

Vận dụng

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn ($O$). Các đường cao $BE,CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H$ ($E$ thuộc $AC,F$ thuộc $AB$). Đường thẳng $AH$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $K$.

a) Chứng minh rằng $BC$ là đường trung trực của đoạn thẳng $HK$.

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác $CHK$ cắt $AC$ tại điểm thứ hai là $I$, đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHK$ cát $AB$ tại điểm thứ hai là $J$. Chứng minh rằng $IJ//EF$.

c) Gọi $M$ là trung điểm $AI$. Chứng minh rằng các điểm $C,M,F,K$ cùng thuộc một đường tròn.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:851276

Phương pháp giải

a) Kẻ đường cao AD, H là trực tâm của tam giác ABC, đường kính AA’, N là trung điểm HA’

Chứng minh $BHCA'$ là hình bình hành từ đó suy ra $BC$ là đường trung trực của $HK$.

b) Chứng minh $I,H,J$ thẳng hàng bằng cách dùng tổng 2 góc bằng $180^{0}$.

Chứng minh $\angle AIJ = \angle AEF$ để suy ra $IJ//EF$

c) Chứng minh $\Delta KFH \sim \Delta KMI$ (c.g.c) dẫn tới $\angle KFC = \angle KMC$. Từ đó suy ra $FMCK$ nội tiếp.

Giải chi tiết

a. Ta kẻ đường cao $AD$ của tam giác $ABC$, và có $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.

Kẻ đường kính $AA'$ của đường tròn $\left( \text{O} \right)$.

Ta có: $\angle AKA' = 90^{\circ} = \angle ADC$.

Suy ra $BC$ song song với $A'K$. Gọi $N$ là trung điểm của $HA'$.

Ta chứng minh được tứ giác $BHCA'$ là hình bình hành.

Khi đó $BC$ đi qua trung điểm $N$ của $HA'$ suy ra $BC$ đi qua $D$ là trung điểm của $HK$.

Như vậy $BC$ là đường trung trực của $HK$.

b. Ta có tứ giác $ABKC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ nên $\angle ABK + \angle ACK = 180^{\circ}$.

Mặt khác tứ giác $BKHJ$ và tứ giác $CKHI$ nội tiếp, khi đó: $\left\{ \begin{array}{l} {\angle ABK + \angle KHJ = 180^{\circ}} \\ {\angle ACK + \angle KHI = 180^{\circ}} \end{array} \right.$.

Từ đó suy ra $\angle KHJ + \angle KHI = 180^{\circ} - \angle ABK + 180^{\circ} - \angle ACK = 180^{\circ}$.

Như vậy $I,H,J$ thẳng hàng.

Ta chứng minh được $\Delta AEF \sim \Delta ABC$ (c.g.c) $\left. \Rightarrow\angle AEF = \angle ABC \right.$.

Ta có biển đổi góc sau: $\angle AIJ = 180^{\circ} - \angle CIJ = \angle AKC = \dfrac{1}{2}\angle AOC = \angle ABC = \angle AEF$.

Như vậy $IJ$ song song với $EF$.

c. Theo câu a ta có $D$ là trung điểm của $HK$.

Ta có: $\angle AFH = \angle HDC = 90^{\circ}$.

Suy ra tứ giác $AFDC$ nội tiếp.

Khi đó $\angle DFH = \angle HAC$ và $\angle FDH = \angle HCA = \angle AKI$, (do tứ giác $HICK$ nội tiếp).

Như vậy $\left. \Delta DFH \sim \text{Δ}KAI\left( {g.g} \right)\Rightarrow\dfrac{FH}{AI} = \dfrac{DH}{KI}\Leftrightarrow\dfrac{FH}{2MI} = \dfrac{HK}{2KI}\Leftrightarrow\dfrac{FH}{HK} = \dfrac{MI}{KI} \right.$.

Kết hợp $\left. \Delta DFH \sim \Delta KAI\left( {g.g} \right)\Rightarrow\angle FHK = \angle AIK \right.$.

Do đó $\Delta KFH \sim \Delta KMI$ (c.g.c) dẫn tới $\angle KFC = \angle KMC$.

Như vậy tứ giác $FMCK$ nội tiếp.

Vậy 4 điểm $F,K,C,M$ thuộc một đường tròn.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link