Cổng một ngôi trường có dạng hình parabol cao 6 m, khoảng cách giữa hai chân cổng là 12 m. Nhà

Câu hỏi số 851274:

Vận dụng

Cổng một ngôi trường có dạng hình parabol cao 6 m, khoảng cách giữa hai chân cổng là 12 m. Nhà trường dang thiết kê để treo một màn hình led hình chữ nhật có 2 đỉnh nằm trên đường parabol ở độ cao bằng nhau, mép dưới màn hình led cách mặt đất 4,5 m. Hỏi diện tich cúa màn hình led lớn nhất là bao nhiêu mét vuông?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:851274

Phương pháp giải

Gắn hệ trục toạ độ, xác định phương trình parabo, gọi hình chữ nhật MNPQ tính toạ độ theo tham số từ đó lập phương trình diện tích và tìm GTLN.

Giải chi tiết

Gắn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ

Khi đó $A\left( {6, - 6} \right),B\left( {- 6, - 6} \right)$.

Giả sử Parabol có công thức hàm số là $(P):y = ax^{2}$.

Do đồ thị ($P$) đi qua điểm $A$ thì $\left. - 6 = a \cdot 6^{2}\Leftrightarrow a = - \dfrac{1}{6} \right.$.

Như vậy $(P):y = - \dfrac{1}{6}x^{2}$.

Xét các điểm $M,N,P,Q$ và $M,Q$ nằm trên ($P$) tạo thành hình chữ nhật như hình vẽ.

Do mép dưới của màn hình cách mặt đất 4,5 m nên đỉnh của cổng Pababol cách $NP$ là 1,5m

Giả sử $M,Q$ có hoành độ lần lượt là $a, - a$, trong đó $a > 0$.

Khi đó: $M\left( {a, - \dfrac{a^{2}}{6}} \right),P\left( {- a, - \dfrac{a^{2}}{6}} \right),N\left( {a, - \dfrac{3}{2}} \right),Q\left( {- a, - \dfrac{3}{2}} \right).$

Ta có: $MQ = 2a,NP = \dfrac{3}{2} - \dfrac{a^{2}}{6}$.

Ta thấy $\left. y_{M} > y_{N}\Leftrightarrow - \dfrac{a^{2}}{6} > - \dfrac{3}{2}\Leftrightarrow 0 < a < 3 \right.$.

Khi đó diện tích hình chữ nhật $MNPQ$ là $S = 2a\left( {\dfrac{3}{2} - \dfrac{a^{2}}{6}} \right) = 3a - \dfrac{a^{3}}{3}$

Ta chứng minh $S \leq 2\sqrt{3}$.

Thật vậy $\left. 3a - \dfrac{a^{3}}{3} \leq 2\sqrt{3}\Leftrightarrow{(a - \sqrt{3})}^{2}\left( {a + 2\sqrt{3}} \right) \geq 0 \right.$.

Bất đẳng thức cuối cùng đúng do ${(a - \sqrt{3})}^{2} \geq 0,a + 2\sqrt{3} > 0$.

Vậy diện tích lớn nhất có thể của mạnh hình là $S = 2\sqrt{3}\left( m^{2} \right)$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link