Cho đường thẳng $d: x \cdot \sin a^0+y \cdot \cos a^0-1=0$ với a là số thực thuộc khoảng $(0 ;

Câu hỏi số 851813:

Vận dụng

Cho đường thẳng $d: x \cdot \sin a^0+y \cdot \cos a^0-1=0$ với a là số thực thuộc khoảng $(0 ; 180)$.
a) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d?
b) Chứng minh rằng khi a thay đổi, luôn tồn tại một đường tròn cố định tiếp xúc với đường thẳng d. Viết phương trình đường tròn đó?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:851813

Phương pháp giải

a) Công thức tính khoảng cách từ điểm $M(x_0; y_0)$ đến đường thẳng $d: Ax + By + C = 0$:

$d(M, d) = \dfrac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

b) Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng đó bằng bán kính của đường tròn.

Giải chi tiết

a) Khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0;0)$ đến đường thẳng $d$ là:

$d(O, d) = \dfrac{|\sin a^\circ \cdot 0 + \cos a^\circ \cdot 0 - 1|}{\sqrt{\sin^2 a^\circ + \cos^2 a^\circ}}$

Có $\sin^2 a^\circ + \cos^2 a^\circ = 1$ với mọi số thực $a$.

Do đó: $d(O, d) = \dfrac{|-1|}{\sqrt{1}} = \dfrac{1}{1} = 1$

Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d luôn bằng 1.

b) Từ kết quả câu a, ta thấy đường thẳng d luôn cách điểm O cố định một khoảng không đổi $R = 1$.

Suy ra đường thẳng d luôn tiếp xúc với đường tròn cố định có tâm là gốc tọa độ $O(0;0)$ và bán kính $R = 1$

Phương trình đường tròn đó là:

$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 1^2 \Leftrightarrow x^2 + y^2 = 1$

Vậy khi a thay đổi, đường thẳng d luôn tiếp xúc với đường tròn cố định $(C): x^2 + y^2 = 1$.

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10