Cho tam giác $\bigtriangleup ABC$ cân tại $A$ có $AD$ là đường phân giác

Câu hỏi số 853986:

Vận dụng

Cho tam giác $\bigtriangleup ABC$ cân tại $A$ có $AD$ là đường phân giác xuất phát từ đỉnh $A\left( {D \in BC} \right)$.

a) Chứng minh $\Delta ABD = \Delta ACD$.

b) Từ $D$ kẻ $DM$ vuông góc với $AB$ tại $M$ và $DN$ vuông góc với $AC$ tại $N$. Chứng minh tam giác $DMN$ là tam giác cân.

c) Gọi E là giao điểm của hai tia AB và $\text{ND},\text{I}$ là giao điểm của hai tia AC và $\text{MD},\text{K}$ là trung điểm của IE. Chứng minh: Ba điểm $\text{A},\text{D},\text{K}$ thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:853986

Phương pháp giải

a) Sử dụng trường hợp bằng nhau của tam giác (Cạnh - Góc - Cạnh).

b) Chứng minh hai cạnh bằng nhau ($DM = DN$) thông qua hai tam giác vuông bằng nhau.

c) Chứng minh $AD$ và $AK$ cùng vuông góc với một đường thẳng (cụ thể là EI), hoặc cùng nằm trên đường trung trực/phân giác.

Hoặc chứng minh $A, D, K$ cùng thuộc đường trung trực của đoạn thẳng EI.

Giải chi tiết

a) Chứng minh $\Delta ABD = \Delta ACD$.

*Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACD$ có:

$\text{AC} = \text{AB}$ (vì $\Delta ABC$ cân tại A)

AD là cạnh chung

$\widehat{BAD} = \widehat{CAD}\ $ (Do AD là phân giác của góc BAC)

Vậy $\Delta ABD = \Delta ACD$ (c.g.c)

b) Chứng minh tam giác DMN là tam giác cân.

Xét $\Delta AMD$ và $\Delta AND$ có

AD là cạnh chung

$\angle AMD = \angle AND\left( {= 90^{0}} \right)$

$\angle MAD = \angle DAN$ (Do AD là phân giác của $\angle BAC$)

Suy ra$\Delta AMD = \Delta AND$ ( Cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra $DM = DN$ (2 cạnh tương ứng)

Nên $\Delta DMN$ cân tại D

c) Gọi $E$ là giao điểm của hai tia AB và ND , I là giao điểm của hai tia AC và $\text{MD},\text{K}$ là trung điểm của IE. Chứng minh: Ba điểm $\text{A},\text{D},\text{K}$ thẳng hàng.

Xét $\Delta AEI$ có $IM\bot AE$ và $EN\bot AI$ nên IM và EN là 2 đường cao cắt nhau tại D

Suy ra D là trực tâm của $\Delta AEI$

Vậy $AD\bot EI$ (1)

Xét $\Delta MDE$ và $\Delta NDI$ có

$\angle DME = \angle DNI\left( {= 90^{0}} \right)$

$DM = DN$ (từ ý b)

$\angle MDE = \angle NDE$ (hai góc đối đỉnh)

Suy ra $\Delta MDE = \Delta NDI$ (c.g.c)

Suy ra $ME = NI$

Mà $AM = AN$ (Do $\Delta AMD = \Delta AND$)

Nên $ME + AM = NI + AN$ hay $AE = AI$

Suy ra $\Delta AEI$ cân tại A

Mà AK là trung tuyến (do K là trung điểm EI)

Suy ra AK đồng thời là đường cao của $\Delta AEI$

Suy ra $AK\bot EI$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD trùng với AK hay ba điểm $\text{A},\text{D},\text{K}$ thẳng hàng

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link