Hình chỏm cầu có một đáy là một phần của hình cầu bị chia bởi

Câu hỏi số 855038:

Vận dụng

Hình chỏm cầu có một đáy là một phần của hình cầu bị chia bởi một mặt phẳng. Một rada có thể phát hiện các mục tiêu trong khu vực của một hình chỏm cầu với chiều rộng trên mặt đất là một hình tròn với bán kính 450 km và chiều cao 30 km. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với mặt phẳng Oxy là mặt đất (xem mặt đất là mặt phẳng), trục Oz hướng lên cao và gốc tọa độ O trùng với vị trí của rada (tham khảo hình vẽ bên), mỗi đơn vị trên trục là 1 km. Một tên lửa bắt đầu từ vị trí điểm A(30; –780; 60), dự định bay thẳng với vận tốc không đổi 7 km/giây hướng thẳng đến vị trí của rada. Thời gian dự kiến từ khi tên lửa bị rada phát hiện đến khi nó bắn trúng rada là bao nhiêu giây? (làm tròn đến hàng đơn vị).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:855038

Phương pháp giải

Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán vecto trong không gian.

Giải chi tiết

Đặt tên các điểm như hình vẽ.

Xét tam giác DBC vuông tại D, đường cao DO:

$\left. DO^{2} = BO.CO = 450^{2} = 30.CO \Leftrightarrow CO = 6750 \right.$ (km).

$\left. \Rightarrow BC = CO + BO = 6750 + 30 = 6780 \right.$ (km).

Bán kính mặt cầu là $R = \dfrac{6780}{2} = 3390$ (km).

Do đó $I(0 ; 0 ;-(3390-30)) \Rightarrow I(0 ; 0 ;-3360)$ (vì I nằm dưới mặt phẳng Oxy).

Phương trình mặt cầu: $x^{2} + y^{2} + {(z + 3360)}^{2} = 3390^{2}$.

Vecto chỉ phương của OA là $\overset{\rightarrow}{u} = \dfrac{1}{30}\overset{\rightarrow}{OA} = (1; - 26;2)$.

Phương trình đường thẳng OA: $\left\{ \begin{array}{l} {x = t} \\ {y = - 26t} \\ {z = 2t} \end{array} \right.$.

Để tìm giao điểm K của OA với mặt cầu, ta xét: $t^{2} + {( - 26t)}^{2} + {(2t + 3360)}^{2} = 3390^{2}$

$\left. \Leftrightarrow 227t^{2} + 4480t - 67500 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {t = 10} \\ {t = - \dfrac{6750}{227} \approx - 29,7} \end{array} \right. \right.$.

Vì cao độ K dương nên $\left. 2t > 0\Leftrightarrow t > 0 \right.$, do đó $K\left( {10; - 260;20} \right)$.

$OK = \sqrt{10^{2} + \left( {- 260} \right)^{2} + 20^{2}} = 10\sqrt{681}$ (km).

Thời gian dự kiến từ khi tên lửa bị rada phát hiện đến khi bắn trúng rada là $\dfrac{10\sqrt{681}}{7} \approx 37$ (giây).

Đáp án cần điền là: 37

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.