Cho biểu thức $A = \dfrac{2\sqrt{x} + 3}{5x - 10\sqrt{x}},B = \dfrac{2}{\sqrt{x} - 2} + \dfrac{3}{2\sqrt{x} + 1} -

Câu hỏi số 855688:

Vận dụng

Cho biểu thức $A = \dfrac{2\sqrt{x} + 3}{5x - 10\sqrt{x}},B = \dfrac{2}{\sqrt{x} - 2} + \dfrac{3}{2\sqrt{x} + 1} - \dfrac{5\sqrt{x} - 7}{2x - 3\sqrt{x} - 2}$ với $x > 0,x \neq 4$.

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ tại $x = 25$.

b) Rút gọn biểu thức $B$.

c) Tìm tất cả các giá trị của $x$ để biểu thức $C = \dfrac{B}{A}$ là số nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:855688

Phương pháp giải

Sử dụng các quy tắc rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai.

Để tìm giá trị của biểu thức, thay giá trị của $x$ (nếu thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức đã rút gọn.

Để tìm $x$ nguyên hoặc $x$ để biểu thức nguyên, sử dụng tính chất chia hết hoặc đánh giá miền giá trị của biểu thức.

Giải chi tiết

a) Thay $x = 25$ vào $A$ ta được : $A = \dfrac{2\sqrt{25} + 3}{5.25 - 10\sqrt{25}} = \dfrac{2.5 + 3}{125 - 10.5} = \dfrac{13}{75}$

Thay $x = 25$ vào $B$ ta được

$\begin{array}{l} {B = \dfrac{2}{\sqrt{25} - 2} + \dfrac{3}{2\sqrt{25} + 1} - \dfrac{5\sqrt{25} - 7}{2.25 - 3\sqrt{25} - 2}} \\ {= \dfrac{2}{5 - 2} + \dfrac{3}{2.5 + 1} - \dfrac{5.5 - 7}{50 - 3.5 - 2} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{11} - \dfrac{18}{33} = \dfrac{13}{33}} \end{array}$

Vậy tại $x = 25$ thì giá trị của biểu thức $A = \dfrac{13}{75}$ và $B = \dfrac{13}{33}$

b) Với $x > 0,x \neq 4$, ta có:

$\begin{array}{l} {B = \dfrac{2}{\sqrt{x} - 2} + \dfrac{3}{2\sqrt{x} + 1} - \dfrac{5\sqrt{x} - 7}{2x - 3\sqrt{x} - 2}} \\ {= \dfrac{2}{\sqrt{x} - 2} + \dfrac{3}{2\sqrt{x} + 1} - \dfrac{5\sqrt{x} - 7}{\left( {\sqrt{x} - 2} \right)\left( {2\sqrt{x} + 1} \right)}} \\ {~ = \dfrac{4\sqrt{x} + 2 + 3\sqrt{x} - 6 - 5\sqrt{x} + 7}{\left( {\sqrt{x} - 2} \right)\left( {2\sqrt{x} + 1} \right)}} \\ {= \dfrac{2\sqrt{x} + 3}{\left( {\sqrt{x} - 2} \right)\left( {2\sqrt{x} + 1} \right)}} \end{array}$

Vậy $B = \dfrac{2\sqrt{x} + 3}{\left( {\sqrt{x} - 2} \right)\left( {2\sqrt{x} + 1} \right)}$, với $x > 0,x \neq 4$

c) Với $x > 0,x \neq 4$, ta có:

$\begin{array}{l} {C = \dfrac{B}{A} = \dfrac{2\sqrt{x} + 3}{\left( {\sqrt{x} - 2} \right)\left( {2\sqrt{x} + 1} \right)}:\dfrac{2\sqrt{x} + 3}{5x - 10\sqrt{x}}} \\ {= \dfrac{2\sqrt{x} + 3}{\left( {\sqrt{x} - 2} \right)\left( {2\sqrt{x} + 1} \right)} \cdot \dfrac{5\sqrt{x}\left( {\sqrt{x} - 2} \right)}{2\sqrt{x} + 3} = \dfrac{5\sqrt{x}}{2\sqrt{x} + 1}.} \end{array}$

Giả sử $C$ nguyên thì $C$ là số nguyên dương, ta có: $0 < \dfrac{5\sqrt{x}}{2\sqrt{x} + 1} < 3$.

Nếu $\left. C = 1\Leftrightarrow\dfrac{5\sqrt{x}}{2\sqrt{x} + 1} = 1\Leftrightarrow 5\sqrt{x} = 2\sqrt{x} + 1\Leftrightarrow x = \dfrac{1}{9} \right.$. (thoả mãn)

Nếu $\left. C = 2\Leftrightarrow\dfrac{5\sqrt{x}}{2\sqrt{x} + 1} = 2\Leftrightarrow 5\sqrt{x} = 4\sqrt{x} + 2\Leftrightarrow x = 4 \right.$. (loại)

Như vậy để $C$ nguyên thì $x = \dfrac{1}{9}$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link