Bạn Thái viết ra bảng 100 số nguyên đương đôi một phân biệt, mỗi số không lớn hơn $2^{98}$.

Câu hỏi số 855634:

Vận dụng

Bạn Thái viết ra bảng 100 số nguyên đương đôi một phân biệt, mỗi số không lớn hơn $2^{98}$. Đối với mỗi cặp số $\left( {a,b} \right)$ được bạn Thái viết ra, bạn Nguyên viết số $a + b -$ ƯCLN $\left( {a,b} \right)$ trên bảng. Chứng minh rằng, có ít nhất một số trong các số mà bạn Nguyên viết khác với tất cả các số mà bạn Thái viết.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:855634

Phương pháp giải

Sử dụng nguyên lý cực hạn (xét phần tử lớn nhất, nhỏ nhất).

Sử dụng tính chất chia hết và ước chung lớn nhất.

Giải chi tiết

Ta thấy các số mà bạn Nguyên viết ra đều là số nguyên dương. Gọi 100 số mà Thái viết ra bảng là $a_{1} < a_{2} < \ldots < a_{100},\left( {a_{i} \in \text{~N}^{\text{*}}} \right)$. Giả sử không tồn tại số nào trong các số mà bạn Nguyên viết khác với tất cả các mà bạn Thái viết.

Như vậy với mọi $1 \leq i < j \leq 100$, thì $a_{i} + a_{j} - \text{gcd}\left( {a_{i},a_{j}} \right) \in S,S = \left\{ {a_{1};a_{2};\ldots;a_{100}} \right\}$.

Khi đó $a_{99} + a_{100} - \text{gcd}\left( {a_{99},a_{100}} \right) \in S$.

Ta thấy $a_{99} < a_{99} + a_{100} - \text{gcd}\left( {a_{99},a_{100}} \right)$. Suy ra

$\begin{matrix} \left. a_{99} + a_{100} - gcd\left( {a_{99},a_{100}} \right) = a_{100}\Leftrightarrow gcd\left( {a_{99},a_{100}} \right) = a_{99}\Rightarrow a_{99} \mid a_{100}.\#(1) \right. \end{matrix}$

Bây giờ, $a_{98} < a_{98} + a_{99} - \text{gcd}\left( {a_{98},a_{99}} \right)$.

Nếu $\left. a_{98} + a_{99} - \text{gcd}\left( {a_{98},a_{99}} \right) = a_{100}\Rightarrow a_{99} \mid a_{98} - \text{gcd}\left( {a_{98},a_{99}} \right) \right.$, do

Suy ra $a_{99} \leq a_{98} - \text{gcd}\left( {a_{98},a_{99}} \right) < a_{98}$, vô lý.

Như vậy $\left. a_{98} + a_{99} - \text{gcd}\left( {a_{98},a_{99}} \right) = a_{90}\Rightarrow a_{98}\left| a_{99} \right|a_{100}. \right.$

Bây giờ, $\left. a_{97} < a_{97} + a_{98} - \text{gcd}\left( {a_{97},a_{98}} \right)\Rightarrow a_{97} + a_{98} - \text{gcd}\left( {a_{97},a_{98}} \right) \in \left\{ {a_{98},a_{99},a_{100}} \right\} \right.$.

Tương tự như trên thì $a_{97}\left| a_{98} \right|a_{99} \mid a_{100}$.

Lặp lại quá trình như vậy thì ta có $a_{1}\left| a_{2} \right|\ldots\left| a_{98} \right|a_{99} \mid a_{100}$.

Ta đặt $a_{i + 1} = q_{i} \cdot a_{i}$ với $q_{i} \in \text{~N}^{\text{*}},q_{i} \neq 1,\forall i = \overline{1,99}$.

Ta thấy $a_{100} = q_{99}q_{98}\ldots q_{1}a_{1} \geq 2^{99}$.

Mà $a_{100}$ không lớn hơn $2^{98}$. Suy ra mâu thuẫn.

Như vậy có ít nhất một số trong các số mà bạn Nguyên viết khác với tất cả các mà bạn Thái viết.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link