1) Cho $a,b$ là hai số thực dương. Chứng minh $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \geq \dfrac{4}{a + b}$. 2)

Câu hỏi số 855693:

Vận dụng

1) Cho $a,b$ là hai số thực dương. Chứng minh $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \geq \dfrac{4}{a + b}$.

2) Một viên phấn có dạng hình trụ với đường kính đáy 1 cm, chiều dài 6 cm. Người ta xếp 120 viên phấn thành $a$ hàng và $b$ cột $\left( {a,b \in N^{\text{*}}} \right)$ đặt vừa khít vào một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật làm bằng bìa cứng. Tìm $a,b$ sao cho vật liệu cần dùng để làm chiếc hộp đó tiết kiệm nhất (coi diện tích các mép nối là không đáng kể).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:855693

Phương pháp giải

Biến đổi tương đương hoặc sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Mô hình hóa bài toán thành tìm cực trị của biểu thức đại số.

Giải chi tiết

1) Ta có:

$\begin{aligned} & \dfrac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq \dfrac{4}{a+b} \Leftrightarrow \dfrac{a+b}{a b} \geq \dfrac{4}{a+b} \\ & \Leftrightarrow(a+b)^2 \geq 4 a b \\ & \Leftrightarrow a^2-2 a b+b^2 \geq 0 \\ & \Leftrightarrow(a-b)^2 \geq 0 .\end{aligned}$

Như vậy BĐT được chứng minh và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a = b$.

2) Ta có diện tích toàn phần của hộp phấn là: $V = 2\left( {ab + 6a + 6b} \right)$

Mà ta có $\left. ab = 120(1)\Rightarrow V = 12\left( {a + b} \right) + 240 \right.$

Chú ý $a,b \in \text{~N}^{\text{*}}$ nên $a,b \geq 1$.

Ta có $a + b \geq 2\sqrt{ab} = 2\sqrt{120} > 21$

Để $V$ đạt giá trị bé nhất thì ta có $a + b = 22$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\left\lbrack \begin{array}{l} {a = 10,b = 12} \\ {a = 12,b = 10} \end{array} \right.$

Để vật liệu cần dùng để làm chiếc hộp đó tiết kiệm nhất thì $a = 10,b = 12$ hoặc $a = 12,b = 10$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link