1) Một lọ nước hoa có hình dạng bên ngoài là hình cầu làm

Câu hỏi số 855692:

Vận dụng

1) Một lọ nước hoa có hình dạng bên ngoài là hình cầu làm bằng thuỷ tinh có đường kính 8 cm . Lòng bên trong của lọ cũng là một hình cầu nhỏ cùng tâm với hình cầu bên ngoài để chứa nước hoa. Hỏi phải làm thành lọ có độ dày là bao nhiêu cm để chứa được lượng nước hoa là 120 ml ? (kết quả làm tròn ở bước cuối cùng, lấy $\pi \approx 3,14$ và làm tròn đến hàng phần mười). Biết rằng lượng nước hoa được chứa trong lọ chiếm $80\rm{\%}$ thể tích của phần có thể chứa nước hoa

2) Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB = 2\text{R}$, trên đoạn $OA$ lấy điểm $I\left( {I \neq A;I \neq O} \right)$. Kẻ tia $Ix$ vuông góc với $AB$ cắt ( $O$ ) tại $C$. Lấy điểm $E$ trên cung nhỏ $BC\left( {E \neq B;E \neq C} \right)$, $AE$ cắt $CI$ tại $F$. Gọi $D$ là giao điểm của đường thẳng $BC$ với tiếp tuyến tại $A$ của $\left( {O;R} \right)$.

a) Chứng minh bốn điểm $B,E,F,I$ cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh $AE \cdot AF = CB \cdot CD$.

c) Khi điểm $E$ di chuyển trên cung nhỏ $BC$ với giả thiết $AB = 2AC$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $S = 2025.BE.CE$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:855692

Phương pháp giải

Sử dụng công thức thể tích khối cầu $V = \dfrac{4}{3}\pi R^{3}$. Tính bán kính lòng trong dựa trên thể tích chất lỏng.

Sử dụng tính chất tiếp tuyến, góc nội tiếp, tứ giác nội tiếp và hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh.

Sử dụng bất đẳng thức hoặc đánh giá hình học để tìm giá trị lớn nhất (GTLN).

Giải chi tiết

1) Thể tích lượng nước hoa: $V = 120\left( \text{ml} \right) = 120\left( \text{cm}^{3} \right)$

Thể tích của hình cầu chứa nước hoa: $V = 120:80\rm{\%} = 150\left( \text{cm}^{3} \right)$

Bán kính của hình cầu chứa nước hoa: $\left. V = \dfrac{4}{3}\pi R^{3}\Leftrightarrow 150 = \dfrac{4}{3}\pi R^{3}\Leftrightarrow R^{3} = \dfrac{225}{2\pi}\Leftrightarrow R = \sqrt[3]{\dfrac{225}{2\pi}} \right.$

Độ dày thành lọ nước hoa: $\dfrac{8}{2} - \sqrt[3]{\dfrac{225}{2\pi}} \approx 0,7\left( \text{~cm} \right)$

Vậy độ dày thành lọ hoa thỏa mãn là 0,7 cm.

2) Ta có hình vẽ:

a) Ta thấy $E$ thuộc đường tròn đường kính $AB$ nên $\angle AEB = 90$, mà kết hợp với $\angle FIB = 90$ nên cá điểm $F,I,B,E$ đồng viên.

b) Tam giác $AIF$ dồng dạng tam giác $AEB$ (g.g), nên suy ra $\dfrac{AI}{AE} = \dfrac{AF}{AB}$ hay $AI.AB = AF.AE$.

Mặt khác do tam giác $ACB$ vuông tại $C$ có đường cao $CI$ nên chứng minh được $AC^{2} = AI.AB$

Và tam giác $DAB$ vuông tại $A$, đường cao $AC$ nên $AC^{2} = CD \cdot DB$

Như vậy $AE.AF = CD.DB$

c) Khi $AB = 2AC$ suy ra $AC = R$ hay tam giác $ACO$ đều và $I$ là trung điểm $AO$.

Gọi $CI$ cắt $(O)$ tại $H$. Ta có $CBH$ là tam giác cân tại $B$ và $CBH = 60$ hay tam giác $CHB$ đều.

Gọi $G$ trên $HE$ sao cho $CE = EG$.

Ta có: $CEG = 60$ nên tam giác $CEG$ đều, ta chứng minh được $HCG = BCE$ (*)

Suy ra tam giác $CGH =$ tam giác $CEB$ (c.g.c) do $CE = CG,AC = AB$ và do (*)

Khi đó $BE = HG$. Như vậy $CE + EB = EH$

Ta có $S = 2025.BE.CE \leq 2025.\dfrac{{(BE + CE)}^{2}}{4} = 2025.\dfrac{EH^{2}}{4} \leq 2025.R^{2}$

Do $EH \leq 2R$. Như vậy $\text{Max}S = 2025.R^{2}$.

Dấu bằng xảy ra khi vào chỉ khi $E,H,O$ thẳng hàng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link