Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mỗi đơn vị trên trục có độ dài 10 km. Một trạm theo

Câu hỏi số 858243:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mỗi đơn vị trên trục có độ dài 10 km. Một trạm theo dõi được đặt ở gốc tọa độ và có thể phát hiện được các vật thể cách nó một khoảng không quá 30 km. Một vệ tinh do thám di chuyển từ vị trí A(4; 2; 1) đến vị trí $B\left( {- 1; - \dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}} \right)$ với vận tốc 80 km/h theo một đường thẳng. Thời gian mà vệ tinh di chuyển trong phạm vi phát hiện của trạm theo dõi là bao nhiêu phút? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:858243

Phương pháp giải

Áp dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ trong không gian.

Giải chi tiết

Nhận thấy $OA = \sqrt{4^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{21} \approx 4,582 > 3;$

$OB = \sqrt{{( - 1)}^{2} + \left( \dfrac{- 1}{2} \right)^{2} + \left( \dfrac{7}{2} \right)^{2}} = \dfrac{3\sqrt{6}}{2} \approx 3,67 > 3$.

Suy ra hai điểm A, B nằm ngoài tầm phát hiện của trạm theo dõi.

Ta có $\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {- 5;\dfrac{- 5}{2};\dfrac{5}{2}} \right) = \dfrac{5}{2}\left( {- 2; - 1;1} \right) = \dfrac{5}{2}\overset{\rightarrow}{u}$.

Gọi $M(x;y;z)$ là vị trí của của vệ tinh trên đoạn AB trong phạm vi phát hiện của trạm theo dõi.

Khi đó ta có $\overset{\rightarrow}{AM} = t\overset{\rightarrow}{u}$, với $\left. t > 0\Rightarrow M\left( {4 - 2t;2 - t;1 + t} \right) \right.$.

$\left. OM \leq 3\Leftrightarrow{(4 - 2t)}^{2} + {(2 - t)}^{2} + {(1 + t)}^{2} \leq 9\Leftrightarrow 1 \leq t \leq 2. \right.$

Với $\left. t = 1\Rightarrow M_{1}(2;1;2) \right.$.

Với $\left. t = 2\Rightarrow M_{2}(0;0;3) \right.$.

Vậy vị trí đầu tiên vệ tinh bị theo dõi là $M_{1}(2;1;2)$ và vị trí cuối cùng trước khi ra khỏi phạm vi theo dõi là $M_{2}(0;0;3)$.

Ta có $M_{1}M_{2} = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{6}$ nên khoảng cách thực tế giữa $M_{1}$ và $M_{2}$ là $10\sqrt{6}$ km.

Suy ra thời gian vệ tinh bay trong vùng do thám là $t = \dfrac{10\sqrt{6}}{80}$ (giờ) $= \dfrac{10\sqrt{6}}{80}.60 \approx 18,4$ (phút).

Đáp án cần điền là: 18,4

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.