Một tập đoàn năng lượng cần xây dựng tuyến ống dẫn dầu cỡ lớn chạy theo một

Câu hỏi số 858244:

Vận dụng

Một tập đoàn năng lượng cần xây dựng tuyến ống dẫn dầu cỡ lớn chạy theo một đường thẳng dài 720km để dẫn dầu đi qua một vùng hoang mạc rộng lớn. Hai trạm bơm công suất lớn ở hai đầu tuyến đã xây xong, phần việc còn lại là:

+) Lắp đặt ống dẫn dầu giữa hai trạm bơm công suất lớn đã có.

+) Xây thêm một số trạm bơm tăng áp nằm trên tuyến ống dẫn để tăng hiệu quả dẫn dầu sao cho các trạm bơm tăng áp này chia toàn bộ tuyến ống dẫn dầu thành các đoạn có độ dài bằng nhau.

Đơn vị thiết kế lập dự toán phần việc còn lại như sau:

+) Chi phí xây 1 trạm bơm tăng áp là 108 (triệu đồng).

+) Chi phí xây đoạn ống dẫn dầu nối giữa hai trạm bơm kề nhau với khoảng cách x km là $x\left( {2 + \sqrt{x}} \right)$ (triệu đồng).

Hỏi cần xây thêm bao nhiêu trạm bơm tăng áp để tổng chi phí phần việc còn lại theo dự toán như trên là nhỏ nhất? Coi kích thước của các trạm bơm tăng áp là không đáng kể so với chiều dài toàn tuyến ống dẫn dầu.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:858244

Phương pháp giải

Gọi số trạm tăng áp cần xây thêm là n.

Biểu diễn n và lập hàm chi phí theo x.

Tìm x để hàm chi phí đạt giá trị nhỏ nhất, từ đó tính n.

Giải chi tiết

Gọi số trạm tăng áp cần xây thêm là n.

Khi đó toàn tuyến được chia thành $n + 1$ đoạn bằng nhau, nên $\left. (n + 1)x = 720\Rightarrow n = \dfrac{720}{x} - 1. \right.$

Tổng chi phí gồm:

- Chi phí xây trạm tăng áp: $108n$;

- Chi phí xây ống cho $n + 1$ đoạn: $(n + 1)(2 + \sqrt{x})x$.

Vậy $y = f(x) = 108n + (n + 1)(2 + \sqrt{x})x.$

Thay $n = \dfrac{720}{x} - 1$, ta được:

$f(x) = 108\left( {\dfrac{720}{x} - 1} \right) + \left( {\dfrac{720}{x} - 1 + 1} \right)(2 + \sqrt{x})x$

$= \dfrac{77760}{x} + 720\sqrt{x} + 1332$ với $0 < x \leq 720$.

Ta có: $f'(x) = - \dfrac{77760}{x^{2}} + 720 \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = - \dfrac{77760}{x^{2}} + \dfrac{360}{\sqrt{x}}.$

Giải $f'(x) = 0$: $\left. - \dfrac{77760}{x^{2}} + \dfrac{360}{\sqrt{x}} = 0\Rightarrow\dfrac{360}{\sqrt{x}} = \dfrac{77760}{x^{2}}\Rightarrow 360x^{2} = 77760\sqrt{x} \right.$.

Chia hai vế cho $360\sqrt{x}$: $\left. x^{3/2} = 216\Rightarrow x = \sqrt[3]{216^{2}} = 36 \right.$.

Khi $0 < x < 36$ thì $f’(x) < 0$, khi $36 < x < 720$ thì $f’(x) > 0$, nên $f(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 36$.

Khi đó $n = \dfrac{720}{36} - 1 = 20 - 1 = 19$.

Vậy cần xây thêm 19 trạm tăng áp để tổng chi phí nhỏ nhất.

Đáp án cần điền là: 19

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.