Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$, $AB < AC$. Qua các điểm B và C vẽ
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$, $AB < AC$. Qua các điểm B và C vẽ các tiếp tuyến của đường tròn $(O)$, hai tiếp tuyến này cắt nhau tại M. Gọi H là giao điểm của BC và OM.
a) Chứng minh bốn điểm B, O, C, M cùng thuộc một đường tròn và $OM\bot BC$.
b) Gọi D là giao điểm thứ hai của đường thẳng AH với đường tròn $(O)$. Chứng minh: $ODH = OMD$ và $DB.DC.MA = AB.AC.MD$.
Quảng cáo
a) Chứng minh các đỉnh cùng nhìn đoạn OM dưới góc $90^{{^\circ}}$ và dùng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau để chứng minh đường trung trực.
b) Sử dụng hệ thức lượng và tam giác đồng dạng để chứng minh các cặp góc bằng nhau, kết hợp tính chất đường phân giác để thiết lập tỉ số đoạn thẳng.
a) MB là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ nên $MB\bot OB$
$\bigtriangleup MBO$ vuông nên các điểm B, O, M cùng thuộc đường tròn đường kính OM.
Tương tự, $\bigtriangleup MCO$ vuông nên các điểm O, C, M cùng thuộc đường tròn đường kính $O M$.
Vậy bốn điểm B, O, C, M cùng thuộc đường tròn đường kính OM.
$OB = OC$ nên O thuộc đường trung trực của đoạn BC
$MB = MC$ nên M thuộc đường trung trực của đoạn BC.
Do đó OM là đường trung trực cuảa đoạn BC suy ra $OM\bot BC$.
b) Có $\bigtriangleup OBH \backsim \bigtriangleup OMB$ (vì là các tam giác vuông có chung góc BOM) nên
$\dfrac{OB}{OM} = \dfrac{OH}{OB}$ hay $OB^{2} = OH \cdot OM$.
Lại có $OB = OD$ nên $OB^{2} = OD^{2} = OH \cdot OM$
Do đó $\dfrac{OD}{OM} = \dfrac{OH}{OD}$.
Xét $\bigtriangleup ODH$ và $\bigtriangleup OMD$ có:
DOM chung;
$\dfrac{OD}{OM} = \dfrac{OH}{OD}$
Nên $\bigtriangleup ODH \backsim \bigtriangleup OMD$
Do đó $\angle ODH = \angle OMD$.
Chứng minh tương tự, có $\angle OAH = \angle OMA$.
vì $\bigtriangleup OAD$ cân tại O nên $\angle OAH = \angle ODH$.
Do đó $OMD = OMA$ suy ra MH là phân giác của góc DMA
Suy ra $\dfrac{DH}{HA} = \dfrac{MD}{MA}$.
Chứng minh được $\bigtriangleup DHC \backsim \bigtriangleup BHA$; $\bigtriangleup DHB \backsim \bigtriangleup CHA$
Từ đó ta có $\dfrac{DH}{HA} = \dfrac{DH}{HB} \cdot \dfrac{HB}{HA} = \dfrac{DC}{AB} \cdot \dfrac{DB}{AC}$.
Do đó $\dfrac{MD}{MA} = \dfrac{DC}{AB} \cdot \dfrac{DB}{AC}$
Hay $DB \cdot DC \cdot MA = AB \cdot AC \cdot MD$.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
