Cho đường tròn $(O)$ đường kính $A B$. Gọi $H$ là điểm cố định nằm

Câu hỏi số 863857:

Vận dụng

Cho đường tròn $(O)$ đường kính $A B$. Gọi $H$ là điểm cố định nằm giữa $O$ và $B$. Kẻ dây $C D$ vuông góc với $A B$ tại $H$. Trên cung nhỏ $A C$ lấy điểm $E$ bất kì ( $E$ khác $A$ và $C$ ). Kẻ $C K$ vuông góc với $A E$ tại $K$. Đường thẳng $D E$ cắt $C K$ tại $F$.
a) Chứng minh rằng tứ giác $A H C K$ nội tiếp được đường tròn.
b) Chứng minh $K H$ song song với $E D$ và tam giác $A C F$ cân.
c) Tìm vị trí của điểm $E$ trên đường tròn $(O)$ để diện tích tam giác $A D F$ lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:863857

Phương pháp giải

a) Chứng minh hai đỉnh $H$, $K$ cùng nhìn đoạn $AC$ dưới góc $90^\circ$.
b) Dùng góc nội tiếp chứng minh các góc đồng vị bằng nhau; chứng minh $AK$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của $\triangle ACF$.
c) Chứng minh $AF = AD = AC$ (không đổi), diện tích lớn nhất khi $DI = AD$ (hay $DA \perp AF$).

Giải chi tiết

a) Do $C D \perp A B$ tại $H$
$\Rightarrow \triangle C H A$ vuông tại $H \Rightarrow H \in$ đường tròn đường kính $A C$ (1)
Do $C K \perp A E$ tại $K$
$\Rightarrow \triangle C K A$ vuông tại $K \Rightarrow K \in$ đường tròn đường kính $A C$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow 4$ điểm $C, H, A, K$ cùng thuộc đường tròn đường kính $A C$

⇒ Tứ giác $A H C K$ nội tiếp (đpcm)
b) Do tứ giác $A H C K$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{C H K}=\widehat{C A K}$ ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung $C K$ ).
Xét đường tròn $(O)$ có $\widehat{C D E}=\widehat{C A K}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $E C$ ).
Từ đó $\Rightarrow \widehat{C H K}=\widehat{C D E}$ mà 2 góc này ở vị trí đồng vị $\Rightarrow K H / / E D$.
$\triangle O C D$ cân tại $O$ có $O H$ là đường cao đồng thời là trung tuyến
$\Rightarrow H$ là trung điểm của $C D$.
Xét $\triangle C D F$ có $H$ là trung điểm của $C D, H K / / D F \Rightarrow K$ là trung điểm của $C F$.
Xét $\triangle C A F$ có $K$ là trung điểm của $C F, A K \perp C F \Rightarrow \triangle C A F$ cân tại $A$ (đpcm).

c) Có $\triangle C A F$ cân tại $A \Rightarrow A F=A C$.
$\triangle C A D$ cân tại $A \Rightarrow A D=A C \Rightarrow A F=A C=A D$.
Kė $D I \perp A F$ tại $I \Rightarrow S_{\triangle A D F}=\dfrac{1}{2} D I \cdot A F=\dfrac{1}{2} D I \cdot A C$.
Do $A C$ không đổi nên $S_{\triangle A D F}$ lớn nhất khi $D I$ lớn nhất.
Mà $D I \leq D A=A C \Rightarrow S_{A D F} \leq \dfrac{1}{2} A C^2$ (không đổi).
Dấu "=" xảy ra khi $I \equiv A$ khi $D A \perp A F \Rightarrow \triangle D A F$ vuông cân tại $A \widehat{E D A}=45^{\circ} $
$\Rightarrow E$ là điểm chính giữa của cung $A B$.
Vậy $E$ là điểm chính giữa của cung $A B$ thì diện tích $\triangle A D F$ lớn nhất bằng $\dfrac{1}{2} A C^2$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link