Bác Nghĩa đang giúp con trai sắp xếp 16 cuốn sách ôn thi vào một chiếc kệ 5 ngăn phân biệt. 16

Câu hỏi số 865222:

Vận dụng

Bác Nghĩa đang giúp con trai sắp xếp 16 cuốn sách ôn thi vào một chiếc kệ 5 ngăn phân biệt. 16 cuốn sách này thuộc 8 môn học khác nhau: Toán, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa, Văn, Anh. Mỗi môn học gồm đúng 2 cuốn: một cuốn sách giáo khoa và một cuốn sách bài tập

Để việc ôn tập đạt hiệu quả cao nhất theo từng khối thi, bác Nghĩa đặt ra quy tắc khắt khe sau:

- Do ngăn kệ nhỏ, mỗi ngăn chỉ được chứa tối đa 5 cuốn sách và không được để ngăn nào trống.

- Hai cuốn sách của cùng một môn học phải luôn nằm chung một ngăn với nhau.

- Các môn học trong cùng một tổ hợp môn thi phải nằm ở 3 ngăn liên tiếp để thuận tiện cho việc tra cứu. Các tổ hợp bao gồm: (Văn, Sử, Địa), (Toán, Lý, Hóa), (Toán, Hóa, Sinh) và (Toán, Lý, Anh).

- Các cuốn sách trong mỗi ngăn được xếp theo hàng ngang với gáy sách quay ra ngoài ở mỗi ngăn, thứ tự từ trái sang phải.

Tổng số cách sắp xếp 16 cuốn sách này vào 5 ngăn kệ thỏa mãn điều kiện trên là $T$. Tính giá trị của $\dfrac{T}{1024}$

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:865222

Phương pháp giải

Ta chia thành 4 trường hợp sau và tìm số cách chọn

Trường hợp 1: Mỗi ngăn có một môn Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh

Trường hợp 2: Có một cặp trong các môn Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh nằm chung ở ngăn 2

Trường hợp 3: Có một cặp trong các môn Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh nằm chung ở ngăn 4

Trường hợp 4: Có hai cặp môn tự nhiên ở ngăn 1 và 2 hoặc nằm ở ngăn 4 và 5

Giải chi tiết

Ta có 16 cuốn sách xếp vào 5 ngăn, mỗi ngăn chứa tối đa 5 cuốn. Do các cuốn sách cùng môn luôn chung ngăn, nên bắt buộc là 3 ngăn chứa 4 cuốn (2 môn) và 2 ngăn chứa 2 cuốn (1 môn)

Số cách sắp xếp sách trong các ngăn này là $\left( {4!} \right)^{3} \times \left( {2!} \right)^{2}$

Vì môn toán tham gia vào 3 tổ hợp liên tiếp nên toán cố định ở ngăn 3

Nhóm xã hội (Văn, Sử, Địa) nằm ở 3 ngăn liên tiếp nên số cách sắp xếp là $3!$

Ta có 4 trường hợp sắp xếp các môn Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh trước sau đó vị trí còn trống cho các môn Văn, Sử, Địa vào và phải thỏa mãn có 3 vị trí liền kề

Trường hợp 1: Mỗi ngăn có một môn Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh

Có 2 cấu trúc thỏa mãn: (Sinh, Hóa, Toán, Lý, Anh) và (Anh, Lý, Toán, Hóa, Sinh)

Lúc nãy mỗi ngăn chứa 2 cuốn của các môn Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh nên Văn, Sử, Địa có thể đặt vào bất kì cụm 3 ngăn liên tiếp nào (1, 2, 3) hoặc (2, 3, 4) hoặc (3, 4, 5)

Số cách sắp xếp là $2 \times 3 \times 3! = 36$

Trường hợp 2: Có một cặp trong các môn Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh nằm chung ở ngăn 2

Lúc này ngăn 2 có 4 cuốn sách nên không thể xếp thêm môn nào vào được (khi đó số sách ở ngăn 2 là 6 cuốn), nên Văn, Sử, Địa phải xếp vào cụm ngăn (3, 4, 5)

Khi đó có 4 cách sắp xếp thỏa mãn

- Anh – (Lý, Sinh) – Toán – Hóa

- Hóa – (Lý, Sinh) – Toán – Anh

- Sinh – (Hóa, Anh) – Toán – Lý

- Lý – (Hóa, Anh) – Toán – Sinh

Số cách sắp xếp là $4 \times 1 \times 3! = 24$

Trường hợp 3: Có một cặp trong các môn Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh nằm chung ở ngăn 4

Khi đó có 4 cách sắp xếp thỏa mãn

- Anh – Toán – (Lý, Sinh) - Hoá

- Hoá – Toán – (Lý, Sinh) - Anh

- Lý – Toán – (Hoá, Anh) - Sinh

- Sinh – Toán – (Hoá, Anh) - Lý

Khi đó Văn, Sử, Địa phải xếp vào cụm ngăn (1, 2, 3)

Tương tự như trường hợp 2 ta có 24 cách sắp xếp

Trường hợp 4: Có hai cặp môn tự nhiên ở ngăn 1 và 2 hoặc nằm ở ngăn 4 và 5

Khi đó nhóm Văn, Sử, Địa sẽ xếp vào cụm ngăn (3, 4, 5) hoặc (1, 2, 3)

Có 4 cách sắp xếp thỏa mãn:

- (Hóa, Anh) – (Lý, Sinh) – Toán

- (Lý, Sinh) – (Hóa, Anh) – Toán

- Toán – (Lý, Sinh) – (Hóa, Anh)

- Toán – (Hóa, Anh) – (Lý, Sinh)

Số cách sắp xếp là $4 \times 3! = 24$

Vậy tổng số sắp xếp môn học là $36 + 24 + 24 + 24 = 108$

Như vậy tổng số cách sắp xếp thỏa mãn là $\left( {4!} \right)^{3} \times \left( {2!} \right)^{2} \times 108 = 5971968$

Khi đó $\dfrac{T}{1024} = \dfrac{5971968}{1024} = 5832$

Đáp án cần điền là: 5832

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.