Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị km), Trái đất được mô phỏng là mặt cầu tâm O, bán kính $R =

Câu hỏi số 865223:

Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị km), Trái đất được mô phỏng là mặt cầu tâm O, bán kính $R = 6400$ và đường xích đạo được xem là đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu mô phỏng trái đất và mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$. Tại Bắc Cực $I\left( {0;0;6400} \right)$, bộ chỉ huy thiết lập một “Vòm An Ninh”. Vùng an toàn này là một mặt cầu tâm $I$ có bán kính quét là $R_{q} = 1280\sqrt{10}$. Bất kì tàu nào đi vào biên giới của vùng này sẽ được bảo vệ tuyệt đối. Siêu điệp viên Alpha đang ẩn náu tại tọa độ $M\left( {0;5120;3840} \right)$. Anh nhận được mật lệnh: “Phải di chuyển từ vị trí hiện tại xuống đường xích đạo để kích hoạt thiết bị định vị, sau đó lập tức rút lui về ranh giới Vòm An Ninh tại điểm nhập K theo lộ trình ngắn nhất để tẩu thoát”. Biết vận tốc di chuyển của Alpha là $v_{A} = 60km/h$. Cùng lúc đó, tàu truy kích Beta đang phục kích tại vị trí $N\left( {0; - 6400;0} \right)$. Ngay khi Alpha xuất phát, Beta tính toán được chính xác điểm K và lao đến đó để chặn đầu. Tàu Beta phải duy trì vận tốc tối thiểu là bao nhiêu km/h để có thể chặn đầu Alpha trước lúc điệp viên này vào ranh giới an toàn? (Xem vận tốc của Alpha và Beta là chuyển đồng đều và hai tàu di chuyển trên mặt của khối cầu. Làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:865223

Phương pháp giải

Tìm điểm K: Xác định giao tuyến Vòm An Ninh ($z=5120$) và dùng nguyên lý phản xạ qua Xích đạo (bài toán Heron) để tìm $K(0; 3840; 5120)$.

Tính thời gian Alpha ($t_A$): Tính tổng hai cung tròn $MP$ và $PK$ (do tổng góc chắn bằng $90^\circ$) để suy ra quãng đường và thời gian.

Tính quãng đường Beta ($S_B$): Tính độ dài cung tròn lớn $NK$ dựa trên góc chắn giữa hai vectơ vị trí $\vec{ON}$ và $\vec{OK}$.

Tìm vận tốc: Thiết lập điều kiện $t_{Beta} \le t_{Alpha} \Leftrightarrow S_B/v_B \le t_A$ để tính ra $v_{min}$.

Giải chi tiết

Để quãng đường mà Alpha đi ngắn nhất thì điểm K phải nằm trên giao tuyến của 2 mặt cầu

Khi đó $K\left( {x;y;z} \right)$ phải thỏa mãn $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6400^{2}\,\,(1)$ và $x^{2} + y^{2} + \left( {z - 6400} \right)^{2} = \left( {1280\sqrt{10}} \right)^{2}\,\,(2)$

Từ (1) và (2) ta được $z = 5120$

Vậy điểm $K$ nằm trên mặt phẳng $z = 5120$

Để quãng đường mà Alpha đi ngắn nhất thì điểm K phải nằm trên mặt phẳng chứa $M\left( {0;5120;3840} \right)$,

$O\left( {0;0;0} \right)$ và tâm $I\left( {0;0;6400} \right)$

Do đó $K$ nằm trên đường kinh tuyến thuộc mặt phẳng $Oyz:\,\, x = 0$

Với $x_{K} = 0$$x_{K} = 0,\,\, z_{K} = 5120$ ta được $y_{K} = 3840$ (do $y_{K}$ lớn hơn 0)

Vậy tọa độ của $K$ là $K\left( {0;3840;5120} \right)$

Gọi $P$ là vị trí của Alpha đi tới xích đạo

Quãng đường mà Alpha di chuyển là tổng độ dài của hai cung $\overset{\frown}{MP} + \overset{\frown}{PK}$

Ta có:

$\begin{array}{l} \left. \tan\angle MOP = \dfrac{z_{M}}{y_{M}} = \dfrac{3840}{5120} = \dfrac{3}{4}\Rightarrow\angle MOP = \dfrac{\pi.\arctan\left( \dfrac{3}{4} \right)}{180}\,\,\left( {rad} \right) \right. \\ \left. \tan\angle KOP = \dfrac{z_{K}}{y_{K}} = \dfrac{5120}{3840} = \dfrac{4}{3}\Rightarrow\angle KOP = \dfrac{\pi.\arctan\left( \dfrac{4}{3} \right)}{180}\,\,\left( {rad} \right) \right. \end{array}$

Khi đó

$\begin{array}{l} {\overset{\frown}{MP} + \overset{\frown}{PK} = R.\angle MOP + R.\angle KOP} \\ {= R.\arctan\left( \dfrac{3}{4} \right) + R.\arctan\left( \dfrac{4}{3} \right)} \\ {= \dfrac{6400\pi}{180}\left( {\arctan\left( \dfrac{3}{4} \right) + \arctan\left( \dfrac{4}{3} \right)} \right) = 3200\pi\,\,\left( {km} \right)} \end{array}$

Thời gian Alpha đi nhanh nhất là $t_{\alpha} = \dfrac{3200\pi}{60} = \dfrac{160\pi}{3}$

Quãng đường Beta đi chính là độ dài cung $\overset{\frown}{NK}$

Ta có: $\overset{\frown}{NK} = \overset{\frown}{NP} - \overset{\frown}{KP} = \pi R - R.\dfrac{\pi}{180}.\arctan\left( \dfrac{4}{3} \right) = 6400\pi\left( {1 - \dfrac{\arctan\left( \dfrac{4}{3} \right)}{180}} \right)$

Vận tốc tối thiểu của Beta là $v = \dfrac{6400\pi\left( {1 - \dfrac{\arctan\left( \dfrac{4}{3} \right)}{180}} \right)}{\dfrac{160\pi}{3}} \approx 84,6\,\,\left( {km/h} \right)$

Đáp án cần điền là: 84,6

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.