Từ điểm A ngoài đường tròn $(O ; R)$, kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là hai

Câu hỏi số 941664:

Vận dụng

Từ điểm A ngoài đường tròn $(O ; R)$, kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là hai tiếp điểm) sao cho $O A=2 R$. Vẽ đường kính CE của $(O)$. Đường thẳng AE cắt $(O)$ tại D $(D \neq E)$.
a) Góc $\widehat{A B O}$ và góc $\widehat{C B E}$ bằng bao nhiêu độ?
b) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp. Xác định tâm M và bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác này. Từ đó, chứng minh $A C^2=A D \cdot A E$.
c) Tính độ dài cạnh BD theo R.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:941664

Phương pháp giải

a) Sử dụng tính chất tiếp tuyến vuông góc với bán kính và hệ quả góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông để xác định số đo các góc.
b) Chứng minh các đỉnh cùng nhìn OA dưới góc $90^\circ$ để xác định đường tròn ngoại tiếp và sử dụng tam giác đồng dạng trường hợp góc-góc.
c) Sử dụng hệ thức lượng, tính chất đường trung trực và các tỉ số đồng dạng để tính toán độ dài các đoạn thẳng trung gian, từ đó tính BD bằng định lí Pythagoras.

Giải chi tiết

a) a) Có AB là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ nên $A B \perp O B$
$\Rightarrow \widehat{A B O}=90^{\circ}$
$\widehat{C B E}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ( $C E$ là đường kính)
$\Rightarrow \widehat{C B E}=90^{\circ}$
b) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp. Xác định tâm M đường tròn ngoại tiếp tứ giác này:
Có $\triangle A B O$ có $\widehat{A B O}=90^{\circ}$ nên $\triangle A B O$ vuông tại B.
$\Rightarrow A, B, O$ cùng thuộc đường tròn, đường kính OA (3)
Có $\triangle A C O$ có $\widehat{A C O}=90^{\circ}$ nên $\triangle A C O$ vuông tại C.
$\Rightarrow A, C, O$ cùng thuộc đường tròn, đường kính OA (4)
Gọi M là trung điểm OA
Từ (3) và (4) $\Rightarrow A, B, O, C$ cùng thuộc đường tròn tâm M, bán kính $\dfrac{O A}{2}=R$
Vậy ABOC là tứ giác nội tiếp.

Chứng minh: $A C^2=A D.A E$:
Có $\widehat{C D E}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ( $C E$ là đường kính)
$\Rightarrow \widehat{C D E}=90^{\circ}$
Xét $\triangle A C E$ vuông tại $C$ và $\triangle A D C$ vuông tại D có $\widehat{C A E}$ chung
$\Rightarrow \triangle A C E \sim \triangle A D C$ (g-g)
$\Rightarrow \dfrac{A C}{A D}=\dfrac{A E}{A C}$ (cặp cạnh tỉ lệ)
$\Rightarrow A C^2=A D.A E$ (5).

c) Gọi $H=O A \cap B C$
+) Ta có: $\left\{\begin{array}{c}O B=O C=R \\ A B=A C\end{array}\right.$
$\Rightarrow O A$ là đường trung trực của BC.
$\Rightarrow O A \perp B C$ tại H.
+) Xét $\triangle A H C$ vuông tại $H$ và $\triangle A C O$ vuông tại $C$ có $\widehat{C A O}$ chung
$\Rightarrow \triangle A H C \sim \triangle A C O$ (g-g)
$\Rightarrow \dfrac{A H}{A C}=\dfrac{A C}{A O}$ (cặp cạnh tỉ lệ)
$\Rightarrow A C^2=A H.A O$ (6)
Từ (5) và (6) $\rightarrow A D.A E=A H.A O$
Xét $\triangle A D H$ và $\triangle A O E$ có:
$\left\{\begin{array}{c} \widehat{O A E} \text { chung } \\ \frac{A D}{A O}=\frac{A H}{A E}(c m t) \end{array}\right. $
$\Rightarrow \Delta A D H \sim \Delta A O E$ (c-g-c)
$\Rightarrow \widehat{A D H}=\widehat{A O E}$ (hai góc tương ứng).

+) $\widehat{H D E}+\widehat{H D A}=180^{\circ}$ (kề bù)
$\Rightarrow \widehat{H D E}=180^{\circ}-\widehat{H D A} $
$\widehat{A O E}+\widehat{A O C}=180^{\circ}$ (kề bù)
$\Rightarrow \widehat{A O C}=180^{\circ}-\widehat{A O E} $
Mà $\widehat{A D H}=\widehat{A O E}$ (cmt)
$\Rightarrow \widehat{H D E}=\widehat{A O C} $
+) $\widehat{E D B}=\widehat{E C B}$ (góc nội tiếp chắn cung BE)
+) $\triangle O H C$ vuông tại H $\Rightarrow \widehat{A O C}+\widehat{E C B}=90^{\circ}$ (hai góc phụ nhau)
$\Rightarrow \widehat{H D E}+\widehat{E D B}=\widehat{A O C}+\widehat{E C B} $
$\Leftrightarrow \widehat{H D B}=90^{\circ} \Rightarrow \triangle H D B$ (vuông tại D)
Tính BD:
$\triangle A C O$ vuông tại $C$ có:
$A C=\sqrt{O A^2-O C^2}=R \sqrt{3}$
(6) $\Leftrightarrow A H=\dfrac{A C^2}{A O}=\dfrac{3 R^2}{2 R}=\dfrac{3 R}{2}$
$\triangle A C E$ vuông tại $C$ có: $A E=\sqrt{C A^2+E C^2}=R \sqrt{7}$
Có $\triangle A D H$ và $\triangle A O E$

$\Leftrightarrow \dfrac{A H}{A E}=\dfrac{H D}{O E} \Leftrightarrow H D=\dfrac{A H.O E}{A E}=\dfrac{\frac{3 R}{2}.R}{R \sqrt{7}}=\dfrac{3 \sqrt{7}}{14} R $
$\Delta A H C \sim \Delta A C O \Leftrightarrow \dfrac{H C}{O C}=\dfrac{A H}{A C}$
$\Leftrightarrow H C=\dfrac{A H.O C}{A C}=\dfrac{\frac{3 R}{2}.R}{R \sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} R$
$\triangle H D B$ vuông tại $D$ có:
$D B=\sqrt{H B^2-H D^2}=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} R\right)^2-\left(\dfrac{3 \sqrt{7}}{14} R\right)^2}=\dfrac{\sqrt{21}}{7} R$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link