Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ nhọn có $H\left(

Câu hỏi số 941745:

Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ nhọn có $H\left( {2;2;1} \right),K\left( {- \dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{8}{3}} \right),O$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A,B,C$ trên các cạnh $BC,AC,AB$. Gọi $I$ là trực tâm tam giác $ABC$. Phương trình mặt cầu tâm $A$ và đi qua $I$ là

A. $(S):{(x + 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 5$.

B. $(S):{(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 5$.

C. $(S):{(x + 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 20$.

D. $(S):x^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 20$.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:941745

Phương pháp giải

Theo tính chất của hình học phẳng thì $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $HOK$. Tìm toạ độ I

Từ $OI\bot OA$ tìm toạ độ A và viết phương trình mặt cầu tâm $A$, bán kính $AI$.

Giải chi tiết

Theo tính chất của hình học phẳng thì $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $HOK$.

Do đó $\left. HK \cdot \overset{\rightarrow}{IO} + OK \cdot \overset{\rightarrow}{IH} + OH \cdot \overset{\rightarrow}{IK} = \overset{\rightarrow}{0}\Leftrightarrow 5 \cdot \overset{\rightarrow}{IO} + 4 \cdot \overset{\rightarrow}{IH} + 3 \cdot \overset{\rightarrow}{IK} = \overset{\rightarrow}{0}\Rightarrow I\left( {0;1;1} \right) \right.$.

Đường thẳng $AH$ có vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{IH} = \left( {2;1;0} \right)$ nên có phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {x = 2t} \\ {y = 1 + t} \\ {z = 1} \end{array} \right.$

Vì $A \in AH$ nên $A(2t;1+t;1)\Rightarrow\overset{\rightarrow}{OA}=\left( {2t;t+1;1} \right)$

Mà $OI\bot OA$ nên $\left. \overset{\rightarrow}{OI} \cdot \overset{\rightarrow}{OA} = 0\Leftrightarrow 2t \cdot 0 + \left( {1 + t} \right) \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0\Leftrightarrow t = - 2\Rightarrow A\left( {- 4; - 1;1} \right) \right.$.

Vậy phương trình mặt cầu tâm $A$, bán kính $AI$ là $(S):{(x + 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 20$.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.