Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):x + y + z + 1 = 0$, mặt cầu $(S):{(x - 1)}^{2} + y^{2} + z^{2}

Câu hỏi số 941744:

Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):x + y + z + 1 = 0$, mặt cầu $(S):{(x - 1)}^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}$, hai đường thẳng $d_{1}:\dfrac{x}{1} = \dfrac{y - 2}{3} = \dfrac{z + 4}{- 1}$ và $d_{2}:\dfrac{x}{2} = \dfrac{y - 1}{1} = \dfrac{z + 3}{1}$. Gọi $d$ là đường thẳng vuông góc với ($P$) đồng thời cắt cả $d_{1},d_{2}$. Biết rằng có số thực $R$ sao cho chỉ có một điểm $M\left( {m;n;p} \right)$ thuộc $d$ sao cho từ $M$ có duy nhất một mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu ($S$). Khi đó $m^{2} + n^{2} + p^{2} - R^{2}$ bằng

A. 2.

B. -3.

C. -1.

D. 1.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:941744

Phương pháp giải

Tìm toạ độ $A,B$ với $A,B$ theo thứ tự là giao điểm của $d$ với $d_{1}$ và $d_{2}$ từ đó viết phương trình d

Gọi M theo tham số thuộc d. Vì có duy nhất 1 điểm M thoả mãn nên khi thay M vào (S) ta được phương trình có nghiệm duy nhất từ đó tìm toạ độ M.

Giải chi tiết

Gọi $A,B$ theo thứ tự là giao điểm của $d$ với $d_{1}$ và $d_{2}$ thì $A\left( {a;2 + 3a; - 4 - a} \right),B\left( {2b;1 + b; - 3 + b} \right)$.

$\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {- a + 2b; - 3a + b - 1;a + b + 1} \right)$.

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến là $\overset{\rightarrow}{n} = \left( {1;1;1} \right)$ nên đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng ($P$) khi và chỉ khi $\overset{\rightarrow}{AB}$ cùng phương với $\overset{\rightarrow}{n} = \left( {1;1;1} \right)$.

Tức là ta có $\left. \dfrac{- a + 2b}{1} = \dfrac{- 3a + b - 1}{1} = \dfrac{a + b + 1}{1}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {- a + 2b = - 3a + b - 1} \\ {- a + 2b = a + b + 1} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a = - \dfrac{1}{2}} \\ {b = 0} \end{array} \right. \right. \right.$

Suy ra $B\left( {0;1; - 3} \right)$.

Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{u} = \overset{\rightarrow}{n} = \left( {1;1;1} \right)$ không cùng phương với các vectơ $\overset{\rightarrow}{u_{1}} = \left( {1;3; - 1} \right)$, $\overset{\rightarrow}{u_{2}} = \left( {2;1;1} \right)$ theo thứ tự là vectơ chỉ phương của $d_{1},d_{2}$ nên $d$ cắt $d_{1}$ và $d_{2}$.

Đường thẳng $d$ có phương trình là $\dfrac{x}{1} = \dfrac{y - 1}{1} = \dfrac{z + 3}{1}$.

Do chỉ có một điểm $M\left( {m;n;p} \right)$ thuộc $d$ sao cho từ $M$ có duy nhất một mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu ($S$) nên đường thẳng $d$ phải tiếp xúc với mặt cầu ($S$) tại điểm $M\left( {m;n;p} \right)$.

Giả sử $M\left( {t;1 + t; - 3 + t} \right) \in d$, đường thẳng $d$ tiếp xúc với mặt cầu ($S$) tại điểm $M\left( {t;1 + t; - 3 + t} \right)$ khi và chỉ khi phương trình ${(t - 1)}^{2} + {(1 + t)}^{2} + {( - 3 + t)}^{2} = R^{2}$ có nghiệm kép.

$\left. {(t - 1)}^{2} + {(1 + t)}^{2} + {( - 3 + t)}^{2} = R^{2}\Leftrightarrow 3t^{2} - 6t + 11 - R^{2} = 0 \right.$.

Phương trình (1) có nghiệm kép $\left. \Leftrightarrow \Delta'= 9 - 3\left( {11 - R^{2}} \right) = 0\Leftrightarrow R^{2} = 8 \right.$.

Khi đó $t = 1$ nên có duy nhất một điểm $M\left( {1;2; - 2} \right)$ thỏa mãn yêu cầu đầu bài.

Suy ra $m = 1,n = 2,p = - 2$ nên $m^{2} + n^{2} + p^{2} - R^{2} = 1$.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.