1. Một khúc gỗ có dạng hình trụ với bán kính đáy 10 cm và

Câu hỏi số 941766:

Vận dụng

1. Một khúc gỗ có dạng hình trụ với bán kính đáy 10 cm và chiều cao gấp đôi đường kính đáy.
a) Tính chiều cao của khúc gỗ.
b) Biết $1 m^3$ gỗ có khối lượng 1000 kg. Hỏi khúc gỗ nặng bao nhiêu kilôgam? (Lấy $\pi \approx 3,14$ và kết làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
2. Cho đường tròn $(O ; R)$, dây BC $(B C<2 R)$. Trên cung lớn BC lấy điểm A sao cho $A B<A C$. Các đường cao AD và BF của tam giác ABC cắt nhau tại I.
a) Chứng minh tứ giác ABDF nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh $C D \cdot C B=C F \cdot C A$.
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác CDF cắt đường tròn $(O ; R)$ tại điểm H (H khác C). Vẽ đường kính CK của đường tròn $(O)$ và gọi E là trung điểm của AB. Chứng minh ba điểm K, E, H thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:941766

Phương pháp giải

1) Tính chiều cao từ tỉ lệ với đường kính; tính thể tích hình trụ theo công thức $V = \pi r^2 h$; nhân thể tích với khối lượng riêng để tìm khối lượng.
2a) Chứng minh các đỉnh và F cùng nhìn đoạn AB dưới một góc $90^\circ$.
2b) Sử dụng trường hợp đồng dạng góc - góc của hai tam giác vuông có chung góc nhọn tại đỉnh C.
2c) Chứng minh tứ giác AKBI là hình bình hành để suy ra K, E, I thẳng hàng; chứng minh K, I, H cùng nằm trên đường thẳng vuông góc với CH tại H dựa vào tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn và đường tròn ngoại tiếp tam giác CDF.

Giải chi tiết

1) Chiều cao của khúc gỗ hình trụ: $10 \cdot 2 \cdot 2=40(\mathrm{cm})=0,4(\mathrm{m})$
Thể tích của khối gỗ hình trụ là:

$V=S_{d}.h=\pi \cdot 0,1^2 \cdot 0,4=0,0004 \pi\left(\mathrm{~m}^3\right)$

Khúc gỗ nặng: $0,0004 \pi .1000 \approx 12,56(\mathrm{~kg})$.

a) Vì $\triangle A B D$ vuông tại D nên tam giác ABD nội tiếp đường tròn đường kính AB.
Do đó, ba điểm A, B, D cùng thuộc đường tròn đường kính AB.
Vì $\triangle A F B$ vuông tại F nên tam giác AFB nội tiếp đường tròn đường kính AB.
Do đó, ba điểm A, F, B cùng thuộc đường tròn đường kính AO.
Vậy 4 điểm A, B, D, F cùng thuộc đường tròn đường kính AB hay tứ giác ABDF nội tiếp đường tròn.

b) Xét $\triangle C B F$ và $\triangle C A D$ có
$\widehat{B F C}=\widehat{C D A}=90^{\circ}$
$\widetilde{B C F}$ là góc chung
Suy ra $\triangle C B F \backsim \triangle C A D$ (g.g)
Suy ra $\dfrac{C B}{C A}=\dfrac{C F}{C D}$ suy ra $C B \cdot C D=C F \cdot C A$.

Xét đường tròn $(O)$, vì CK là đường kính nên $\angle CAK = 90^\circ$ và $\angle CBK = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Ta có:
$AK \perp AC$ (cmt) và $BI \perp AC$ (do $BF$ là đường cao) $\Rightarrow AK // BI$.
$BK \perp BC$ (cmt) và $AI \perp BC$ (do $AD$ là đường cao) $\Rightarrow BK // AI$.
Tứ giác AKBI có các cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.
E là trung điểm của đường chéo AB nên E là trung điểm của đường chéo KI.

Do đó, ba điểm K, E, I thẳng hàng (1).

Xét tứ giác $CDIF$ có $\angle CDI = 90^\circ$ ($AD \perp BC$) và $\angle CFI = 90^\circ$ ($BF \perp AC$).
Có $\angle CDI + \angle CFI = 180^\circ$ nên tứ giác CDIF nội tiếp đường tròn đường kính CI.
Theo đề bài, H nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác CDF nên H thuộc đường tròn đường kính CI.
Suy ra $\angle CHI = 90^\circ$ hay $IH \perp CH$.

Mặt khác, H nằm trên đường tròn $(O)$ có đường kính CK nên $\angle CHK = 90^\circ$
Suy ra $KH \perp CH$.
Từ $IH \perp CH$ và $KH \perp CH$, suy ra ba điểm K, I, H thẳng hàng (2).

Từ (1) và (2), có K, E, H thẳng hàng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link