1) Một bình thủy tinh hình trụ có bán kính đáy 5 cm, chiều cao 20 cm

Câu hỏi số 941810:

Vận dụng

1) Một bình thủy tinh hình trụ có bán kính đáy 5 cm, chiều cao 20 cm (giả sử độ dày của bình là không đáng kể).
a) Tính thể tích của bình.
b) Cho biết lúc đầu bình không chứa gì bên trong. Nếu đổ 1,5 lít nước vào trong bình thì bình đã đầy chưa? Vì sao?

2) Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn $(O)$ đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và D; BD cắt CE tại H. Từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN của đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm).
a) Chứng minh tứ giác AEHD nội tiếp, chỉ rõ vị trí tâm đường tròn.
b) Chứng minh $A B \cdot A E=A C \cdot A D$ và $A H \perp B C$.
c) Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:941810

Phương pháp giải

1) Sử dụng công thức thể tích hình trụ $V = \pi r^2 h$, thực hiện đổi đơn vị để so sánh dung tích bình với lượng nước đổ vào.

2) Vận dụng tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn để xác định các đường cao, từ đó chứng minh tam giác đồng dạng và tính chất trực tâm; sử dụng hệ thức lượng trong đường tròn và tam giác đồng dạng để chứng minh các tia trùng nhau.

Giải chi tiết

1)
a) Thể tích bình là $V=\pi r^2 h=\pi \cdot 5^2 \cdot 20=500 \pi\left(\mathrm{~cm}^3\right)$
b) $500 \pi$ $\mathrm{cm}^3 \approx 1,57$ (lít) $>1,5$ (lít)
Vì thể tích nước bình lớn hơn thể tích nước đồ vào bình nên nước chưa đầy bình.

a) Vì $\widehat{B E C}$ và $\widehat{B D C}$ là hai góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) nên $\widehat{B E C}=\widehat{B D C}=90^{\circ}$
Suy ra $\widehat{A E H}=\widehat{A D H}=90^{\circ}$
Tam giác AEH vuông tại E nên nội tiếp đường tròn đường kính AH, hay A, E, H thuộc đường tròn đường kính AH.
Tam giác ADH vuông tại D nên nội tiếp đường tròn đường kính AH, hay A, D, H thuộc đường tròn đường kính AH.
Suy ra bốn điểm A, E, H, D cùng thuộc đường tròn đương kính AH.
Vậy tứ giác AEHD nội tiếp đường tròn đường kính AH.

b) Xét đường tròn (O) đường kính BC, ta có:

$\widehat{BDC} = 90^{\circ}$ $\Rightarrow BD \perp AC$ tại D.

$\widehat{BEC} = 90^{\circ}$ $\Rightarrow CE \perp AB$ tại E.

Xét $\triangle ABD$ và $\triangle ACE$ có:

$\widehat{A}$ là góc chung;

$\widehat{ADB} = \widehat{AEC} = 90^{\circ}$ (vì $BD \perp AC, CE \perp AB$).

Suy ra $\triangle ABD \sim \triangle ACE$ (g.g).

$\Rightarrow \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AD}{AE}$ $\Rightarrow AB \cdot AE = AC \cdot AD$.

Trong tam giác ABC có BD và CE là đường cao.

Mà BD cắt CE tại H (gt) nên H là trực tâm của tam giác ABC.

Trong một tam giác, ba đường cao đồng quy tại trực tâm, do đó đoạn thẳng nối từ đỉnh A qua trực tâm H phải thuộc đường cao thứ ba.

Suy ra $AH \perp BC$.

Gọi I là giao điểm của AH và BC
Vì $A H \perp B C$ nên $A I \perp B C$
Chứng minh 5 điểm A, M, I, O, N cùng thuộc đường tròn đường kính AO.
Suy ra $\widehat{A M N}=\widehat{A O N}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AN) (1)
và $\widehat{A I M}=\widehat{A O M}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AN) (2)
Mà OA là tia phân giác của $\widehat{M O N}$
Suy ra $\widehat{A O M}=\widehat{A O N}$ (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra $\widehat{A M N}=\widehat{A I M}$ (*)
Gọi $K$ là giao điểm của $O A$ và $M N$
Chứng minh được $O A \perp M N$, từ đó chứng minh:
$\triangle A K M \backsim \triangle A M O$ suy ra $A M^2=A K \cdot A O$

$\triangle A K H \backsim \triangle A I O$ suy ra $A H \cdot A I=A K \cdot A O$
Suy ra $A H \cdot A I=A M^2$ nên $\dfrac{A H}{A M}=\dfrac{A M}{A I}$.
Suy ra $\triangle A H M \backsim \triangle A M I$ (vì có $\dfrac{A H}{A M}=\dfrac{A M}{A I}$ và $\widehat{M A I}$ chung)
Suy ra $\widehat{A M H}=\widehat{A I M}$ (**)
Từ (*) và (**) suy ra $\widehat{A M H}=\widehat{A M N}$
Do đó M, H, N thẳng hàng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link