Một hàng rào được dựng cách chân một bức tường thẳng đứng một khoảng cách là 1 mét,
Một hàng rào được dựng cách chân một bức tường thẳng đứng một khoảng cách là 1 mét, hàng rào cao 1 mét. Một cái thang được dựng tựa vào bức tường, chân thang nằm ngoài hàng rào và chân tường. Chiều dài của thang tối thiểu là bao nhiêu để thang tựa vào hàng rào và tường như hình vẽ?
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Gọi góc tạo bởi chiếc thang và mặt đất là $\angle ABC = \alpha$ ($0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$).
Tính độ dài thang theo $\alpha$ từ đó khảo sát hàm số tìm GTNN
Gọi góc tạo bởi chiếc thang và mặt đất là $\angle ABC = \alpha$ ($0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$).
Chiếc thang được chia làm hai đoạn bởi hàng rào:
Đoạn từ mặt đất đến đỉnh hàng rào (đối diện với hàng rào cao 1m): $BK = \dfrac{1}{\sin\alpha}$
Khi đó $\left. BH = \cot\alpha\Rightarrow\dfrac{BH}{AH} = \dfrac{BK}{CK}\Rightarrow CK = \dfrac{AH.BK}{BH} = \dfrac{1.\dfrac{1}{\sin\alpha}}{\cot\alpha} = \dfrac{1}{\cos\alpha} \right.$
Tổng chiều dài của thang là: $L(\alpha) = \dfrac{1}{\sin\alpha} + \dfrac{1}{\cos\alpha}$
Để tìm chiều dài tối thiểu, ta tính đạo hàm $L'(\alpha)$:
$L'(\alpha) = - \dfrac{\cos\alpha}{\sin^{2}\alpha} + \dfrac{\sin\alpha}{\cos^{2}\alpha} = \dfrac{\sin^{3}\alpha - \cos^{3}\alpha}{\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha}$
Giải $\left. L'(\alpha) = 0\Leftrightarrow\sin^{3}\alpha = \cos^{3}\alpha\Leftrightarrow\tan\alpha = 1\Leftrightarrow\alpha = \dfrac{\pi}{4} \right.$.
Khi đó, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $\alpha = \dfrac{\pi}{4}$.
$L_{min} = \dfrac{1}{\sin\left( \dfrac{\pi}{4} \right)} + \dfrac{1}{\cos\left( \dfrac{\pi}{4} \right)} = \dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} + \dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}\text{~(m)}$
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
