Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu có phương trình $(S):{(x - 1)}^{2} + {(y -

Câu hỏi số 942652:

Thông hiểu

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu có phương trình $(S):{(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 16$, mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A\left( {2;2;1} \right)$ và vuông góc với đường thẳng $OA$. Gọi ($C$) là giao của mặt cầu ($S$) và mặt phẳng ($P$). Bán kính của đường tròn ($C$) là

A. $3\sqrt{2}$.

B. $2\sqrt{3}$.

C. $\sqrt{14}$.

D. $\sqrt{2}$.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:942652

Phương pháp giải

Xác định tâm và bán kính mặt cầu: Từ phương trình (S), suy ra tâm I và bán kính R.

Viết phương trình mặt phẳng (P): (P) vuông góc với OA nên nhận $\overset{\rightarrow}{OA}$ làm vectơ pháp tuyến. Sử dụng điểm A để viết phương trình.

Tính khoảng cách: Tính khoảng cách d từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng (P).

Tính bán kính giao tuyến: Áp dụng định lý Pythagore: Bán kính đường tròn giao tuyến $r = \sqrt{R^{2} - d^{2}}$.

Giải chi tiết

Mặt cầu (S) có tâm $I(1;1; - 1)$ và bán kính $R = \sqrt{16} = 4$.

Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng OA nên nhận $\overset{\rightarrow}{OA} = (2;2;1)$ làm vectơ pháp tuyến. $(P)$ đi qua $A(2;2;1)$ nên có phương trình:

$2(x - 2) + 2(y - 2) + 1(z - 1) = 0$

$\left. \Leftrightarrow 2x - 4 + 2y - 4 + z - 1 = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 2x + 2y + z - 9 = 0 \right.$

Khoảng cách $d$ từ tâm $I(1;1; - 1)$ đến mặt phẳng $(P)$ là:

$d = \dfrac{\left| 2(1) + 2(1) + 1( - 1) - 9 \right|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = \dfrac{|2 + 2 - 1 - 9|}{\sqrt{9}} = \dfrac{| - 6|}{3} = 2$

Bán kính đường tròn giao tuyến (C) là: $r = \sqrt{R^{2} - d^{2}} = \sqrt{4^{2} - 2^{2}} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.