Cho hai biểu thức:$A=\dfrac{x-3}{\sqrt{x}}$ và \(B=\dfrac{3

Câu hỏi số 942999:

Thông hiểu

Cho hai biểu thức:
$A=\dfrac{x-3}{\sqrt{x}}$ và $B=\dfrac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}-\frac{3 x+2 \sqrt{x}}{x-4}$ với $x>0 ; x \neq 4)$
1) Tính giá trị của biểu thức A khi $x=9$.
2) Chứng minh: $B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$.
3) Đặt $P=A.B$. Tìm các giá trị của x để $P \geq 2$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:942999

Phương pháp giải

1, 2) Thay giá trị x vào biểu thức A để tính toán; quy đồng và rút gọn biểu thức B với mẫu thức chung là $x-4 = (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)$.
3) Rút gọn tích $P = AB$, giải bất phương trình $P \geq 2$ bằng cách chuyển vế, đưa về dạng phân thức có tử là bình phương một hiệu.

Giải chi tiết

1) Thay $x=9$ (thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức $A$, ta được:
$A=\dfrac{9-3}{\sqrt{9}}=\dfrac{6}{3}=2$
Vậy khi $x=9$ thì $A=2$.
2) Với $x>0 ; x \neq 4$, ta có:
$B=\dfrac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{3 x+2 \sqrt{x}}{x-4} $
$=\dfrac{3 \sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}+\dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}-\dfrac{3 x+2 \sqrt{x}}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} $
$=\dfrac{x+2 \sqrt{x}}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$

Vậy $B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$

3) Với $x>0 ; x \neq 4$, ta có:
$P=A \cdot B=\dfrac{x-3}{\sqrt{x}} \cdot \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{x-3}{\sqrt{x}-2}$
Để $P \geq 2$ thì $\dfrac{x-3}{\sqrt{x}-2} \geq 2$
Suy ra $\dfrac{x-2 \sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2} \geq 0$

Khi đó $\dfrac{(\sqrt{x}-1)^2}{\sqrt{x}-2} \geq 0$
Do đó: $\dfrac{(\sqrt{x}-1)^2}{\sqrt{x}-2}=0$ hoặc $\dfrac{(\sqrt{x}-1)^2}{\sqrt{x}-2}>0$
Suy ra $\sqrt{x}-1=0$ hoặc $\sqrt{x}-2>0$
Suy ra $x=1$ hoặc $x>4$
Kết hợp với điều kiện $x>0 ; x \neq 4$ nên $x=1$ hoặc $x>4$.
Vậy $x=1$ hoặc $x>4$ thì $P \geq 2$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link