1) Một thùng đựng nước có dạng hình trụ với chiều cao là 40 cm và

Câu hỏi số 943001:

Vận dụng

1) Một thùng đựng nước có dạng hình trụ với chiều cao là 40 cm và bán kính đáy là 15 cm (như hình vẽ bên).
a) Tính thể tích của thùng đựng nước (lấy $\pi \approx 3,14$).
b) Bạn Minh Trí sử dụng thùng trên để múc nước đổ vào một bồn chứa có dạng hình trụ với chiều cao là 150 cm và bán kính đáy là 60 cm. Tính số thùng nước bạn Minh Trí cần phải múc để đổ đầy bồn chứa (giả thiết rằng lúc đầu bồn không có nước và trong mỗi lần múc, thùng đều được múc đầy nước và đều được đổ hết vào bồn).

2) Cho đường tròn $(O;R$, đường kính AB vuông góc với dây CD tại điểm I (biết I nằm giữa A và O ). Lấy điểm E bất kì trên cung nhỏ BC (E khác B và C), AE cắt CD tại K .
a) Chứng minh: Tứ giác KEBI là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh: $AK. AE=AI .AB$.
c) Gọi P là giao điểm của tia BE và tia DC, Q là giao điểm của AP và BK. Chứng minh IK là phân giác của EIQ.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:943001

Phương pháp giải

1) Sử dụng công thức thể tích hình trụ $V = \pi R^2 h$.

Để tìm số thùng nước, ta lập tỉ số giữa thể tích bồn chứa và thể tích thùng đựng.

2a) Chứng minh hai đỉnh I và E cùng nhìn cạnh KB dưới một góc $90^{\circ}$.
b) Chứng minh hai tam giác vuông AKI và ABE đồng dạng theo trường hợp góc - góc.
c) Chứng minh K là trực tâm tam giác APB để suy ra các góc vuông, từ đó vận dụng tính chất của các tứ giác nội tiếp để bắc cầu các góc bằng nhau.

Giải chi tiết

1)
a) Thể tích của thùng đựng nước là:
$ V=\pi R^2 h=\pi \cdot 15^2 \cdot 40 $
$\approx 3,14 \cdot 15^2 \cdot 40=28260\left(\mathrm{~cm}^3\right) .$
b) Thể tích của bồn nước là:
$V_1=\pi R_1^2 h=\pi \cdot 60^2 \cdot 150\left(\mathrm{~cm}^3\right) .$
Số thùng nước cần phải múc để đổ đầy bồn chứa là:
$\left(\pi \cdot 60^2 \cdot 150\right):\left(\pi \cdot 15^2 \cdot 40\right)=60$ (thùng).

a) Xét đường tròn $(O;R)$, ta có $\widehat{AEB} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Suy ra $BE \perp AE$ tại E, hay $\widehat{KEB} = 90^{\circ}$.

Mặt khác, theo giả thiết $AB \perp CD$ tại I, suy ra $\widehat{KIB} = 90^{\circ}$.

Xét tứ giác $KEBI$, có hai đỉnh E và I là hai đỉnh cùng nhìn cạnh KB dưới một góc bằng $90^{\circ}$ ($\widehat{KEB} = \widehat{KIB} = 90^{\circ}$).

Do đó, tứ giác KEBI nội tiếp đường tròn đường kính KB.

b) Xét $\triangle AKI$ và $\triangle ABE$, ta có:
$\hat{A}$ là góc chung

$\widehat{\mathrm{AIK}}=\widehat{\mathrm{AEB}}=90^{\circ}$

Suy ra $\triangle AKI \sim \triangle ABE$ (g.g)
Do đó: $\dfrac{A K}{A B}=\dfrac{A I}{A E}$
Suy ra: $AK \cdot AE=AI \cdot AB$ (đpcm).

c) Xét $\triangle APB$ có: $PI \perp AB (I \in AB)$;
$AE \perp PB$ $(E \in \mathrm{PB})$;
PI cắt AE tại K.
Suy ra K là trực tâm của $\triangle APB$
Suy ra: $PQ \perp AP (Q \in AP)$
Do đó $\widehat{AQB}=90^{\circ}$
hay $\widehat{AQK}=90^{\circ}$ suy ra $Q \in(O;R)$
Ta có: $\widehat{AIK}=90^{\circ}$ (đường kính AB vuông góc với dây CD tại điểm I)

Xét tứ giác $AIKQ$, ta có $\widehat{AIK} = 90^{\circ}$ và $\widehat{AQK} = 90^{\circ}$.
Tổng hai góc đối: $\widehat{AIK} + \widehat{AQK} = 180^{\circ}$.
Do đó tứ giác $AIKQ$ nội tiếp đường tròn đường kính AK.
Suy ra $\widehat{QAK}=\widehat{QIK}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung QK)
Ta có: KEBI là tứ giác nội tiếp (cmt)
Suy ra: $\widehat{KIE}=\widehat{KBE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EK)
Lại có: $\widehat{QAK}=\widehat{KBE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung QE)
Do đó $\widehat{KIE}=\widehat{KIQ}$ hay IK là phân giác của $\widehat{EIQ}$ (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link