Một cái sân hình vuông ABCD có cạnh là 8 m. Người ta muốn lát

Câu hỏi số 943033:

Vận dụng

Một cái sân hình vuông ABCD có cạnh là 8 m. Người ta muốn lát gạch màu khác để trang trí lên mảnh sân hình vuông MNPQ nội tiếp trong sân hình vuông ABCD. Tìm vị trí của M, N, P, Q để hình vuông MNPQ có diện tích nhỏ nhất?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:943033

Phương pháp giải

Biểu diễn diện tích hình vuông MNPQ bằng diện tích hình vuông ABCD trừ đi tổng diện tích bốn tam giác vuông ở các góc.

Sử dụng bất đẳng thức đại số để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức diện tích, đạt được khi các điểm M, N, P, Q là trung điểm các cạnh của hình vuông ABCD.

Giải chi tiết

Gọi cái sân đó là hình vuông ABCD , phần nát gạch màu trang trí là hình vuông MNPQ
Ta có: \(\triangle \mathrm{AMQ}=\triangle \mathrm{BNM}=\triangle \mathrm{CPN}=\triangle \mathrm{DQP}\).
Gọi \(\mathrm{AM}=x\) thì \(\mathrm{MB}=8-x\)
Diện tích hình vuông MNPQ có diện tích nhỏ nhất khi tổng diện tích 4 tam giác vuông ở 4 góc hình vuông ABCD là lớn nhất.
Gọi S là tổng diện tích 4 tam giác đó, ta có:
\(\mathrm{S}=2 \cdot \mathrm{AM} \cdot \mathrm{AQ} \)
Mà \(\mathrm{AM}+\mathrm{AQ}=\mathrm{AM}+\mathrm{MB}=8(\mathrm{~m}) \)
\((\mathrm{AM}-\mathrm{MB})^2 \geq 0 \)
\(\mathrm{AM}^2+\mathrm{MB}^2 \geq 2 \cdot \mathrm{AM} \cdot \mathrm{MB} \)
\((\mathrm{AM}+\mathrm{MB})^2 \geq 4 \cdot \mathrm{AM} \cdot \mathrm{MB} \)
\(2 \cdot \mathrm{AM} \cdot \mathrm{MB} \leq \frac{(\mathrm{AM}+\mathrm{MB})^2}{2}=\frac{8^2}{2}=32\)
Hay \(\mathrm{S} \leq 32\).
Dấu "=" xảy ra khi \(\mathrm{AM}=\mathrm{MB}=\dfrac{\mathrm{AB}}{2}=4\).
Khi đó \(\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}, \mathrm{Q}\) lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.
Vậy khi \(\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}, \mathrm{Q}\) lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA thì hình vuông MNPQ có diện tích nhỏ nhất.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link