Cho đường tròn $(O)$ và BC là một dây của $(O)$ khác đường

Câu hỏi số 943176:

Vận dụng

Cho đường tròn $(O)$ và BC là một dây của $(O)$ khác đường kính. Gọi A là điểm trên cung nhỏ BC, sao cho A khác B, C và thỏa mãn $A B<A C$. Kẻ đường kính AK của đường tròn $(O)$. Gọi D là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC và E là chân đường vuông góc kẻ từ B đến AK.
a) Chứng minh tứ giác ABDE nội tiếp.
b) Chứng minh DE song song với KC.
c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh $\triangle I D E$ cân.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:943176

Phương pháp giải

a) Chứng minh hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn AB dưới góc $90^{\circ}$ để suy ra tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Sử dụng tính chất góc ngoài bằng góc đối trong của tứ giác nội tiếp và góc nội tiếp cùng chắn một cung của $(O)$ để chứng minh các góc ở vị trí so le trong bằng nhau.

c) Chứng minh tứ giác OBEI nội tiếp để chứng minh 2 tam giác đồng dạng $\triangle IDE$ và $\triangle OAB$.

Giải chi tiết

a) Vì D là chân đường vuông góc kể từ A đến BC nên $A D \perp B C$ hay $\widehat{A D B}=90^{\circ}$.
Tương tự ta có $\widehat{A E B}=90^{\circ}$.
BDA và BEA là các tam giác vuông với cạnh huyền là AB nên chúng nội tiếp đường tròn đường kính AB
Hay các điểm A, B, D, E cùng thuộc đường tròn đường kính AB.
Vậy tứ giác ABDE nội tiếp đường tròn đường kính AB.

b) Vì tứ giác $A B D E$ nội tiếp nên $\widehat{A B D}+\widehat{A E D}=180^{\circ}$
Mà $\widehat{K E D}+\widehat{A E D}=180^{\circ}$ (kề bù) nên $\widehat{K E D}=\widehat{A B D}$
Lại có $\widehat{A B C}=\widehat{A K C}$ ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung $A C$ của $(O)$ )
Suy ra $\widehat{K E D}=\widehat{A K C}$ mà đây là 2 góc so le trong nên $D E \| K C$.

c) Vì tứ giác ABDE nội tiếp nên $\widehat{I D E}=\widehat{O A B}$ (cùng bù với $\widehat{B D E}$ ) $\triangle O B C$ cân tại O nên đường trung tuyến OI đồng thời là đường cao

Suy ra $\widehat{O I B}=90^{\circ}$.
Vì OIB và OEB là các tam giác vuông có cạnh huyền OB nên chúng nội tiếp đường tròn đường kính OB

Suy ra tứ giác OBEI nội tiếp nên $\widehat{D I E}=\widehat{A O B}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn BE)
Xét $\triangle I D E$ và $\triangle O A B$ có

$\widehat{I D E}=\widehat{O A B}$; $\widehat{D I E}=\widehat{A O B}$

Nên $\triangle I D E \sim \triangle O A B$ (g.g)
Mà $\triangle O A B$ cân tại O nên $\triangle I D E$ cân tại I.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link