1) Tháp nước Hàng Đậu tại Hà Nội, được xây dựng vào năm 1894 dưới

Câu hỏi số 943222:

Thông hiểu

1) Tháp nước Hàng Đậu tại Hà Nội, được xây dựng vào năm 1894 dưới thời Pháp thuộc. Công trình này có vai trò quan trọng trong việc cung cấp nước sạch cho khu vực trung tâm Hà Nội vào cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20. Được thiết kế theo phong cách kiến trúc châu Âu, tháp nước không chỉ là một phần của hệ thống cấp nước đô thị mà còn trở thành một di tích lịch sử mang ý nghīa văn hóa.

Bên trong tháp nước có một bể chứa nước làm bằng thép, có dạng hình trụ với bán kính đáy khoảng 8,8 m và chiều cao khoảng 5,14 m. Hãy tính thể tích bể chứa nước (Bỏ qua bể dày thép, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, lấy $\pi \approx 3,14$).

2) Cho tam giác nhọn ABC $(A B<A C)$ có đường cao AD. Gọi N, T lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AB, AC.
a) Chứng minh bốn điểm A, N, D, T cùng thuộc một đường tròn.
b) Đường thẳng qua D song song với AB cắt NT tại E. Chứng minh $\widehat{D N T}=\widehat{D A T}$ và $D N \cdot D C=D E \cdot D A$.
c) Chứng minh CE vuông góc với AB.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:943222

Phương pháp giải

1) Sử dụng công thức tính thể tích hình trụ $V = \pi R^2 h$.

2a) Sử dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp.

2b) Vận dụng tính chất góc nội tiếp cùng chắn một cung để chứng minh cặp góc bằng nhau. Sử dụng tính chất song song kết hợp với góc nội tiếp để chứng minh hai tam giác đồng dạng.

2c) Sử dụng tỉ số đồng dạng ở câu b để chứng minh một cặp tam giác đồng dạng khác theo trường hợp cạnh-góc-cạnh, từ đó suy ra góc tương ứng bằng $90^\circ$.

Giải chi tiết

1) Ta có: $V=\pi R^2 h=\pi \cdot 8,8^2 \cdot 5,14=398,0416 \pi \approx 1250$ ($m^3$)
Thể tích của bể chứa nước là $1250 m^3 $

a) Vì $DN \perp AB$ tại N nên $\widehat{AND} = 90^\circ$.

Suy ra điểm N thuộc đường tròn đường kính AD.

- Vì $DT \perp AC$ tại T nên $\widehat{ATD} = 90^\circ$.

Suy ra điểm T thuộc đường tròn đường kính AD.

Vậy bốn điểm A, N, D, T cùng thuộc đường tròn đường kính AD.

b) Theo câu a, tứ giác ANDT nội tiếp đường tròn đường kính AD.

Ta có $\widehat{DNT} = \widehat{DAT}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ DT). (1)

Vì $DE \parallel AB$ (gt), nên $\widehat{NDE} = \widehat{DAN}$ (hai góc so le trong). (2)

Xét $\triangle DNE$ và $\triangle ADC$ có:

$\widehat{NDE} = \widehat{DAC}$ (do (2), $\widehat{DAN} = \widehat{DAC}$).

$\widehat{DNE} = \widehat{DAC}$ (do (1), $\widehat{DNT} = \widehat{DNE}$ và $\widehat{DAT}=\widehat{DAC}$).

Suy ra $\triangle DNE \sim \triangle ADC$ (g.g) $\Rightarrow \dfrac{DN}{AD} = \dfrac{DE}{DC}$.

Vậy $DN \cdot DC = DE \cdot DA$ (đpcm).

c) Có $\dfrac{DN}{AD} = \dfrac{DE}{DC} \Rightarrow \dfrac{DN}{DE} = \dfrac{AD}{DC}$.

Vì $DE \parallel AB$ nên $\widehat{EDC} = \widehat{ABC}$ (hai góc đồng vị).

Trong $\triangle ABD$ vuông tại $D$, ta có $\widehat{NAD} + \widehat{ABC} = 90^\circ$.

Mà $\widehat{NAD} + \widehat{NDA} = 90^\circ$ (do $\triangle AND$ vuông tại $N$).

Suy ra $\widehat{NDA} = \widehat{ABC}$.

Do đó $\widehat{NDA} = \widehat{EDC}$ (cùng bằng $\widehat{ABC}$).

Xét $\triangle NDA$ và $\triangle EDC$ có:

$\dfrac{DN}{DE} = \dfrac{AD}{DC}$ (cmt).

$\widehat{NDA} = \widehat{EDC}$ (cmt).

Suy ra $\triangle NDA \sim \triangle EDC$ (c.g.c).

$\Rightarrow \widehat{DEC} = \widehat{DNA} = 90^\circ$ (hai góc tương ứng).

Vậy $CE \perp DE$, mà $DE \parallel AB$, từ đó suy ra $CE \perp AB$ (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link