Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f'(x) = x + e^{x},\forall x \in {\mathbb{R}}$. Xét tính đúng/sai của các phát

Câu hỏi số 945095:
Vận dụng

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f'(x) = x + e^{x},\forall x \in {\mathbb{R}}$. Xét tính đúng/sai của các phát biểu sau:

Đúng Sai
a) ${\int_{1}^{2}f'}(x)dx = \left( {e^{x} + \dfrac{1}{2}x^{2}} \right)|_{1}^{2} = e^{2} + e + \dfrac{5}{2}$.
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các đường $y = f'(x),y = x + 1$ và $x = 2$ là $\dfrac{57}{13}$.
c) Khi $f(0) = 4$ thì ${\int_{0}^{1}f}(x)dx = \dfrac{6e + 13}{6}$.
d) $f(x) = e^{x} + x^{2} + C$.

Đáp án đúng là: S; S; Đ; S

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:945095
Phương pháp giải

Nguyên hàm cơ bản: ${\int x^{n}}dx = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$ và ${\int e^{x}}dx = e^{x} + C$.

Định nghĩa tích phân: ${\int_{a}^{b}f'}(x)dx = f(b) - f(a)$.

Ứng dụng tích phân tính diện tích: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = g(x),y = h(x)$ và hai đường thẳng $x = a,x = b$ là $\left. S = \left. \int_{a}^{b} \right|g(x) - h(x) \middle| dx \right.$.

Tìm hàm số $f(x)$: Từ đạo hàm $f'(x)$, ta lấy nguyên hàm để tìm $f(x)$, sau đó dựa vào dữ kiện điểm đi qua (giá trị cụ thể) để tìm hằng số $C$.

Giải chi tiết

d) Sai. Ta có: $f(x) = {\int f'}(x)dx = {\int{(x + e^{x})}}dx = \dfrac{x^{2}}{2} + e^{x} + C$

a) Sai. Ta có: ${\int_{1}^{2}f'}(x)dx = {\int_{1}^{2}{(x + e^{x})}}dx = \left. \left( {\dfrac{1}{2}x^{2} + e^{x}} \right) \right|_{1}^{2}$

$= \left( {\dfrac{1}{2} \cdot 2^{2} + e^{2}} \right) - \left( {\dfrac{1}{2} \cdot 1^{2} + e^{1}} \right)$

$= (2 + e^{2}) - (\dfrac{1}{2} + e) = e^{2} - e + \dfrac{3}{2}$

 

b) Sai. Các đường giới hạn: $y = x + e^{x}$, $y = x + 1$, đường thẳng $x = 2$.

Để tìm diện tích, ta cần tìm thêm một cận nữa bằng cách tìm giao điểm của hai đồ thị:

$\left. x + e^{x} = x + 1\Leftrightarrow e^{x} = 1\Leftrightarrow x = 0 \right.$

Diện tích S được tính bởi công thức:$\left. S = \left. \int_{0}^{2} \right|(x + e^{x}) - (x + 1) \middle| dx = \left. \int_{0}^{2} \right|e^{x} - 1 \middle| dx \right.$

Với $x \in \lbrack 0,2\rbrack$, ta luôn có $\left. e^{x} \geq e^{0} = 1\Rightarrow e^{x} - 1 \geq 0 \right.$.

Do đó:$S = {\int_{0}^{2}{(e^{x} - 1)}}dx = (e^{x} - x)|_{0}^{2}$ $= (e^{2} - 2) - (e^{0} - 0) = e^{2} - 2 - 1 = e^{2} - 3$

c) Đúng. $f(x) = \dfrac{1}{2}x^{2} + e^{x} + C$.

Thay $f(0) = 4$ vào:$\left. f(0) = \dfrac{1}{2} \cdot 0^{2} + e^{0} + C = 4\Rightarrow 1 + C = 4\Rightarrow C = 3 \right.$

Vậy hàm số là: $f(x) = \dfrac{1}{2}x^{2} + e^{x} + 3$.

Bây giờ tính tích phân:$I = {\int_{0}^{1}\left( {\dfrac{1}{2}x^{2} + e^{x} + 3} \right)}dx = \left. \left( {\dfrac{x^{3}}{6} + e^{x} + 3x} \right) \right|_{0}^{1}$

$= \left( {\dfrac{1}{6} + e^{1} + 3 \cdot 1} \right) - \left( {0 + e^{0} + 0} \right)$$= e + \dfrac{19}{6} - 1 = e + \dfrac{13}{6} = \dfrac{6e + 13}{6}$

Đáp án cần chọn là: S; S; Đ; S

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn